Reihenkonvergenz

26.02.2012, 15:44

bruno2

Reihenkonvergenz

konvergiert die reihe?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$

meine idee:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} = \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2-n} \end{eqnarray*}$ und das verhält sich für große n wie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

ist die abschätzung mathematisch korrekt?

26.02.2012, 15:53

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Anhaltspunkt, dass die Reihe konvergiert, ist das richtig, aber sicher kein Beweis. Es gilt ja offensichtlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}\frac1{n^2-n}\geq\sum_{k=2}^{\infty}\frac1{n^2} \end{eqnarray*}$

Du beziehst Dich also auf eine konvergente Minorante, was leider gar nichts über die Reihe aussagt.

Welche Konvergenzkriterien für Reihen kennst Du denn?

26.02.2012, 15:59

Srecko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: konvergiert die reihe?
Also, es geht hier um eine Teleskopreihe (http://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme).

Die Summe der Reihe ist dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} = 0.5 - \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 1 \end{eqnarray*}$

Auch gilt:

$\begin{eqnarray*} n(n-1)<n^{2} \Rightarrow \frac{1}{n(n-1)} > \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du das Majorantenkriterium anwenden, um die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

26.02.2012, 16:14

bruno2

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, ich scheibe bald eine klausur, also sollte ich alle konvergenzkriterien kennen smile

quotientenkriterium, wurzelkriterium, usw...

26.02.2012, 16:44

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

@Srecko
Man macht eine Zahl grösser, indem man den Nenner kleiner macht ...
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n-1)} \leq \frac{1}{(n-1)(n-1)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

Und man hat eine konv. Majorante
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)} \leq \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)(n-1)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Edit:
Im übrigen sehe ich keine Teleskopreihe. Es gibt nur positive Summanden.

26.02.2012, 16:52

bruno2

Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir die umformung bzgl des summenzeichens erklären? von n=2 auf n=1?

26.02.2012, 17:02

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

Indexverschiebung ... Teste die Anfangsglieder

26.02.2012, 17:07

bruno2

Auf diesen Beitrag antworten »

das erste glied ist 1 das zweite ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ... und nun?

26.02.2012, 17:21

Srecko

Auf diesen Beitrag antworten »

@SusiQuad

Ja ich kann jetzt sehen, ich habe es gemacht als ob es um $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ geht... Entschuldigung Hammer

keine Ahnung wie ist das passiert...

26.02.2012, 18:13

Valdas Ivanauskas

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SusiQuad
Edit:
Im übrigen sehe ich keine Teleskopreihe. Es gibt nur positive Summanden.

Was ist denn das für eine Argumentation?

Es ist doch

$\begin{eqnarray*} \frac 1{n(n-1)}=\frac 1{n-1}-\frac 1n \end{eqnarray*}$

womit sich dann sehr wohl per Teleskopsummenargument die Partialsumme und damit dann der Wert der Reihe ermitteln lässt.

26.02.2012, 18:37

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

*sry* Valdas, Du hast völlig recht. Diese Umformung habe ich nicht erkannt und Srecko wohl auch nicht, da er sonst auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n} \frac{1}{k(k-1)} = \color{red}1\color{black} - \frac{1}{n} \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ gekommen wäre.

Neue Frage »

Antworten »

Reihenkonvergenz

Verwandte Themen