euklids 5 axiom und die nicht euklidische geometrie

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pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »
euklids 5 axiom und die nicht euklidische geometrie
Meine Frage:
hallo,
ich schreibe demnächst eine facharbeit mit dem titel "Die Flächen in der nichteuklidischen Geometrie und die Vermessung der Welt".
schwerpunkt liegt bei der entwiklung der nichteuklidischen geometrie, dort vor allem bei gauß.
ich habe bereis angefangen zu recherchieren und komme an einem punkt nicht so richtig weiter.
ich ollte meine facharbeit mit euklid und bin bei meinen recherchen immer wieder auf das parallelenaxiom von ihm gestoßen. gauß hat versucht es zu wiederlegen, oder beweisen. irgendwie kommen bei meinen quellen da immer widersprüchliche ansichten (ich habe das so verstanden, dass er es beweisen wollte). allerdings verstehe ich den richtigen zusammenhang zwischen diesem parallelenaxiom und der ncihteuklidischen goemetrie nicht.


Meine Ideen:
ich bin mir nicht sicher aber ich habe dies so verstanden:
gauß hat versucht dieses parallelenaxiom zu beweisen und hat dewegen eine geometrie gesucht, wo dies nicht gilt, wo beispielsweise, die winkelsumme eines dreiecks größer als 180° ist, das wäre dann die nichteuklidische goemetrie. ob das stimmt weiß ich nciht und wenn das stimmt wäre es sehr nett, wenn jemand mir das noch einmal etwas genauer erläutern könnt, auch die genaue bedeutung des parallelenaxiom, da es dazu fast ausschließlich fachliteratur gibt, der ich mich nicht so ganz gewachsen fühle Augenzwinkern
danke im vorraus
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nicht wo ich das bearbeiten kann, deswegen entschuldige ich mich für die rechtschreibfehler, die mir jetzt erst aufgefallen sind! smile
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

hier gibt es eine Geometrie mit mehr als einer Parallelen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbolische_Geometrie

und hier Eine ohne eine Parallele.

http://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Geometrie

das Parallelenaxiom heisst nicht ohne Grund so. Es ist ein Axiom.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

ok. diese beiden geometrien gibt es als gegenbeweis des parallelenaxioms. diese beiden wurden entdeckt und somit der grundstein für die nichteuklidische geometrie gelegt. ich bin mir nämlich an dem punkt nicht sicher, weil ich es in keinem buch einmal klar ausgedrünkt gefunden habe.
der ausgangspunkt der nichteuklidischen geometrie ist das parallelenaxioms und dabei ist man dann, als wiederspruch (obwohl der wiederspruch ja ansich als beweis für das parallelenaxiom zu bewerten ist, da sich die wiedersprüche auf andere geometrien beziehen) auf die nichteuklidische geometrie gestoßen, die dann weiter entwickelt wurde.

so müsste es doch stimmen, oder? ich will mich nur nich schon im anfang bei den recherchen bei etwas im unklaren sein.

danke aber für die schnelle hilfe. hat das alles in die (hoffentlich) richtigen bahnen gelenkt und ordnung in meine stickpunkte gebracht! smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pormi smile
ok. diese beiden geometrien gibt es als gegenbeweis des parallelenaxioms. diese beiden wurden entdeckt und somit der grundstein für die nichteuklidische geometrie gelegt. ich bin mir nämlich an dem punkt nicht sicher, weil ich es in keinem buch einmal klar ausgedrünkt gefunden habe.
der ausgangspunkt der nichteuklidischen geometrie ist das parallelenaxioms und dabei ist man dann, als wiederspruch (obwohl der wiederspruch ja ansich als beweis für das parallelenaxiom zu bewerten ist, da sich die wiedersprüche auf andere geometrien beziehen) auf die nichteuklidische geometrie gestoßen, die dann weiter entwickelt wurde.

Das klingt alles sehr wirr und lässt vermuten, dass du die Sache noch nicht verstanden hast!

Das Parallelenaxiom besagt, das es zu einer Geraden durch einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, genau eine Parallele gibt. Nach Euklid hat es immer wieder Versuche gegeben, dieses Axiom aus den anderen Axiomen zu beweisen. All diese Versuche waren vergeblich.

Gauß und andere haben dann entdeckt, dass man innerhalb der euklidischen Geometrie Modelle konstruieren kann, in denen eine der Negationen des Parallelenaxioms gilt, nämlich dass es durch den oben genannten Punkt mindestens 2 Parallelen gibt (hyperbolische Geometrie) oder dass es durch diesen Punkt gar keine Parallele gibt (elliptische Geometrie).

Da diese Modelle sich innerhalb der euklidischen Geometrie interpretieren lassen, sind sie in sich widerspruchsfrei (Widerspruch schreibt sich ohne e hinter dem i), wenn die euklidische Geometrie widerspruchsfrei ist.

Anmerkung: In Euklids Fassung des Parallelenaxioms taucht das Wort Parallele überhaupt nicht auf. Man kann aber zeigen, dass seine Fassung des Axioms zu obiger Fassung logisch äquivalent ist.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antwort und entschulding für den rechtschreibfehler! hat sich beim schreiben mit der tastur irgendwie so eingeprägt Augenzwinkern

ich glaube so ähnlich hatte ich das oben geschrieben, aber sher wirr, da gebe ich dir recht. noch einmal klar und hoffentlich auch richtig.

man hat versucht, das fünfte axiom zu beweisen. da dies vorerst nicht gelungen ist, hat man versucht, sich andere, nichteuklidische geometrien, zu überlegen, in denen das axiom nicht gilt.
dadurch, dass esm, in anderen, nichteuklidischen goemetrien, nicht gilt, hat man daraus geschlossen, dass es in der euklidischen geometrie gelten muss.

so müsste es doch stimmen, oder?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pormi smile
dadurch, dass esm, in anderen, nichteuklidischen goemetrien, nicht gilt, hat man daraus geschlossen, dass es in der euklidischen geometrie gelten muss.

Das ist nun überhaupt kein logischer Schluss. Weil es bei McDonalds keine frittierten Heuschrecken gibt, kann man ja auch nicht schließen, dass es diese in anderen Lokalen gibt.

Das Parallelenaxiom gilt in der euklidischen Geometrie, weil es dort als Axiom verwendet wird. Die Axiome der euklidischen Geometrie definieren doch gerade diese Geometrie.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

ich hoffe ich stell mich nicht so ganz dämlich an^^

1) man hat versucht das parallelenaxiom zu beweisen
2) man hat sich eine geometrie überlegt, wo das parallelenaxiom nicht gilt
3) dabei stieß man (zufällig) auf die nichteuklidische geometrie
(internetqulle: http://members.chello.at/gut.jutta.gerha...ewsletter11.htm )
in dieser internetqulle wird dann das fünfte axiom an der stelle ganz weggelassen. der sachverhalt wird aber ähnlich dargestellt und dient mir momentan als basishilfe.
ich verstehe den zusammenhang noch nicht richtig. irgendwie hab ich da so puzzelstücke aber das passt alles noch nciht so richtig. wo liegt mein denkfehler? ich find den auch nicht in den büchern, die ich mir als hilfe schon herangezogen hab, zu 100%.

danke dafür, dass Sie mir helfen!!!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir zunächst darüber klar werden, dass Axiome in der Mathematik deshalb gelten, weil man fordert, dass sie gelten. Axiome sind in diesem Sinne willkürliche Setzungen. Man muss lediglich darauf achten, dass die postulierten Axiome nicht zu Widersprüchen führen.

Außerdem versucht man meistens, überflüssige Axiome zu vermeiden. Ein Axiom ist überflüssig, wenn es sich aus den anderen Axiomen beweisen lässt. Das ist das, was man lange Zeit für das Parallelenaxiom versucht hat.

Die Formulierung mit dem Weglassen des Parallelenaxioms in deiner Internetquelle ist nicht besonders gelungen. Alles was man aus den übrigen Axiomen allein beweisen kann, ist sowohl in der euklidischen wie auch in der nichteuklidischen Geometrie gültig. Man bezeichnet diesen Teil der Geometrie als absolute Geometrie. Zu einer definitiv nichteuklidischen Geometrie kommt man erst, wenn man das Parallelenaxiom durch eine seiner beiden Negationen ersetzt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Weil es bei McDonalds keine frittierten Heuschrecken gibt


Irgendwie schade. Da würde ich doch glatt diese gastliche Stätte häufiger aufsuchen ...
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

ok langsam wird es klar.
ich bin bei den recherchen immer wieder auf dieses parallelenaxiom gestoßen und wollte klarheit.

eine frage habe ich jedoch noch. der bezug von dem parallelenaxiom ist nur, dass man durch dieses axiom auf die "neue" geometrie gekommen ist? ist das die einzige verbindung?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir es so: Da man eine Geometrie angeben kann, in der die anderen Axiome gelten, das Parallelenaxiom aber nicht, ist die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms von den anderen Axiomen gezeigt.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

gut! aber auf diese nichteuklidische goemetrie ist man eher zufällig (ich weiß nicht ob das das richtige wort ist) gekommen und hat sie weiter verwendet (beispiel meiner facharbeit - zum vermessen der welt Augenzwinkern )
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Versuche, das Parallelenaxiom aus den übrigen Axiomen zu beweisen, waren der Ausgangspunkt der nichteuklidischen Geometrie. Später ist man dann zu allgemeineren nichteuklidischen Theorien gelangt, nämlich der Theorie gekrümmter Räume. Diese begann mit Bernhard Riemanns Habilitationsschrift vo 1854 "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen".
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pormi smile
gut! aber auf diese nichteuklidische goemetrie ist man eher zufällig (ich weiß nicht ob das das richtige wort ist) gekommen und hat sie weiter verwendet (beispiel meiner facharbeit - zum vermessen der welt Augenzwinkern )

Zufällig war das nun ganz und gar nicht.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

"Zu ihrer Überraschung ergab sich aus der Annahme, dass es mehrere Parallelen gäbe, eine zwar ungewohnte, aber in sich widerspruchsfreie Geometrie - die "nichteuklidische Geometrie"."

vom bereits oben erwähnten link

wie müsste man es korrekt ausdrücken?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist so in Ordnung. Überraschend ist ja etwas anderes als zufällig.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

ok. dann ist das klar!
danke für die hilfe! ihr habt mir in 1 1/2 tagen was erklärt, für das ich wahrscheinlich alleine über eine woche benötigt hätte!
danke!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wir hatten ja mal das Thema: Thread ist "erledigt" mittels "irgendwas" zu kennzeichnen.

Es zeigt sich aber immer wieder, dass manche Threads erst später nochmals an Fahrt zulegen.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Gauß und andere haben dann entdeckt, dass man innerhalb der euklidischen Geometrie Modelle konstruieren kann, in denen eine der Negationen des Parallelenaxioms gilt, nämlich dass es durch den oben genannten Punkt mindestens 2 Parallelen gibt (Hyperbolische Geometrie) oder dass es durch diesen Punkt gar keine Parallele gibt (elliptische Geometrie).


ich wollte es gerade noch einmal alles verschriftlichen und bin dann auf diesen satz gestoßen. man hat innerhalb der euklidischen geometrie ein modell entwickelt in dem eine negation des parallelenaxioms gilt?
dieses modell müsste doch in der nichteuklidischen geometrie sein. Die hyperbolische und die elliptische geometrie sind doch nichteuklidische geometrien.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht tatsächlich um Modelle der nichteuklidischen Geometrie innerhalb der euklidischen Geometrie.

Man nehme z. B. die spärische Geometrie auf der Kugeloberfläche. Das ist ein Teilgebiet der euklidischen Geometrie. Sie wird zu einem Modell der elliptischen Geometrie, indem man einige Begriffe anders interpretiert. Vereinfacht gesagt, man macht ein paar Umbenennungen. Man bezeichnet die Großkreise der euklidischen Geometrie auf der Kugeloberfläche als Geraden der elliptischen Geometrie. Man bezeichnet zwei diametral gegenüberliegende Punkte der euklidischen Geometrie auf der Kugeloberfläche als einen Punkt der elliptischen Geometrie. Letzters ist zugegenermaßen etwas gewöhnungsbedürftig. Eine gute elementare Darstellung findest du hier:

http://members.chello.at/gut.jutta.gerha...ewsletter11.htm

So werden beweisbare Sätze der euklidischen spärischen Geometrie zu Aussagen der elliptischen Geometrie. Der Satz der euklidischen spärischen Geometrie, dass sich zwei verschiedene Großkreise immer in zwei diametral gegenüberliegenden Punkte schneiden, wird zu der Aussage der elliptischen Geometrie, dass sich zwei verschiedene Geraden immer in genau einem Punkt schneiden. Und das ist eine der Negationen des Parallelenaxioms der euklidschen Geometrie. Und da die anderen Axiome der euklidischen Geometrie bei dieser Uminterpretation ihre Geltung behalten, kann diese Negation des Parallelenaxioms nicht im Widerspruch zu den anderen Axiomen stehen. Also ist die elliptische Geometrie widerspruchsfrei, wenn die euklidische Geometrie widerspruchsfrei ist.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

das versteh ich nicht. ^^
euklidische ist doch auf ebenen flächen und nichteuklidisch auf gekrümmten.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte es in der euklidischen Geometrie keine gekrümmten Objekte geben? Kreis und Kugel sind beide gekrümmt und sind Objekte der 2-dimensionalen bzw. 3-dimensionalen euklidischen Geometrie.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

ach so, ok.
also man hat sich modelle in der euklidischen geometrie genommen, wie zum beispiel eine kugeloberfläche, und hat sich dann dadrauf eine neue geometrie mit anderen defenitionen gebildet. so ungefähr^^
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

gut! danke für die schneller erklärung. dann kann ich das ja schon mal verschriftlichen!
danke! smile
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

und erneut habe ich eine frage!
es tut mir echt leid, aber ihr scheint euch damit ja gut auszukennen und mir vielleicht noch mal weiterhelfen zu können.
folgender satz in einem buch in dem ich gerade recherchiere:

"jedenfalls war er (gauß) schon so weit [...], dass er untersuchte, wie eine geometrie, in der das parallelenaxiom falsch ist, aussehen müsste. Gauß ging also den gleichen weg wie zuvor saccheri und lambert und hoffte, wie sie auf einen widerspruch zu kommen und somit das parallenlenaxiom indirekt zu beweisen."

worin würde der beweis liegen?
also man sucht eine geometrie, die sich komplett von der euklidischen unterscheidet, widerlegt das axiom in dieser geometrie und schließt dadraus, dass es in der euklidischen geometrie gilt, oder wie muss ich mir den indirekten beweis vorstellen?

danke in voraus für die antwort! smile
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

also es hat irgendetwas mit den drei hypothesen zu tun, bei der bei dem widerlegen des 5ten axioms nur noch die erste hypothese übrig bleiben sollte und so das 5te axiom bewiesen wäre und so kein axiom sondern ein satz wäre, welcher aus den anderen axiomen folgen würde.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pormi smile
worin würde der beweis liegen?
also man sucht eine geometrie, die sich komplett von der euklidischen unterscheidet, widerlegt das axiom in dieser geometrie und schließt dadraus, dass es in der euklidischen geometrie gilt, oder wie muss ich mir den indirekten beweis vorstellen?

Für einen Widerspruchsbeweis muss man lediglich einen Widerspruch erzeugen. Man schaut sich also erst mal an, was man in der euklidischen Geometrie so alles ohne das Parallelenaxiom beweisen kann, siehe:

http://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Geometrie

Dann nimmt man zusätzlich an, dass das Parallelelnaxiom falsch ist und versucht mit dieser zusätzlichen Annahme einen Widerspruch zu den vorher bewiesenen Sätzen zu erzeugen.

Das klassische Beispiel für einen Widerspruchsbeweis ist der Beweis, der Irrationalität von
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pormi smile
also es hat irgendetwas mit den drei hypothesen zu tun, bei der bei dem widerlegen des 5ten axioms nur noch die erste hypothese übrig bleiben sollte und so das 5te axiom bewiesen wäre und so kein axiom sondern ein satz wäre, welcher aus den anderen axiomen folgen würde.

Ich verstehe nur Bahnhof!
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

zitat aus dem buch:

"der ausgangspunkt war ja bei gauß das problem, wie eine geometrie aussehen müsste, in der das euklidische 5te axiom falsch sei, und zwar führte er diese untersuchung in der erwartung, schließlich bei den folgerungen aus der hypothese des spitzen winkels zu einem widerspruch zu kommen, wie das ja bei der zweiten hypothese schon bei sacchari und lambert geschehen war. damit wäre dann noch die erste hypothese übriggebleiebn, und das hätte bedeutet, dass das 5te euklidische axiom bewiesen wäre, also in wiklichkeit kein axiom mehr sondern ein satz sei, der aus den anderen axiomen folge. an die möglichkeit, dass auch die euklidische geometrie zu einem wiederspruch führen könnte, hat natürlich niemand geglaubt."

ich finde diese "hypothesen" an keiner anderen stelle in dem buch und finde auch im internet keine erklärung was damit gemeint ist.

danke aber für die andere (schnelle^^) hilfe!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Buch ist das?
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

gauß und die nichteuklidische geometrie von h. reichardt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das Buch kenne ich nicht.

Ich glaube, ich weiß jetzt trotzdem, was mit den 3 Hypothesen gemeint ist. Es geht dabei um das sogenannte Saccheri-Viereck. Dabei errichtet man auf den beiden Enden einer Grundseite zwei gleich lange senkrechte Strecken. Das ergibt ein Rechteck. Das kann man aber nur mit Hilfe des Parallelenaxioms beweisen. Ohne das Parallelenaxiom kann man nur beweisen, dass die beiden der Grundseite gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind. Es gibt dann 3 Möglichkeiten:

(1) Sie sind = 90 °
(2) Sie sind < 90°
(3) Sie sind > 90 °

Das sind die 3 Hypothesen. Aus (1) würde das Parallelenaxiom folgen. Könnte man nun die Hypothesen (2) und (3) zu einem Widerspruch mit den übrigen Axiomen führen, bliebe nur Hypothese (1) übrig und das Parallelenaxiom wäre bewiesen.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss ganz ehrlich sagen, dass mich das alles ein wenig verwirrt.
gauß möchte das axiom doch auf die anderen axiome zurückführen, oder guckn ob es sich überhaupt auf die anderen zurückführen lässt. warum muss man dazu das axiom beweisen und wovon ist dann der beweis, von der gültigkeit des axioms?
das find ich irgendwie ein bisschen undurchsichtig. leider steht genau das im buch auch nich erklärt.

da steht:
"[es war] noch niemandem gelungen dieses Axiom auf die anderen zurückzuführen."

und dann

"Gauß ging also den gleichen weg wie zuvor saccheri und lambert und hoffte, wie sie auf einen widerspruch zu kommen und somit das parallenlenaxiom indirekt zu beweisen."

der zusammenhang dazwischen wird nicht erläutert. wie hängt das miteinander zusammen?


danke für die mühe. ich glaub ich bin ein harter brocken, aber das ist mir einfach nicht ganz klar! smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Habe doch oben erklärt, wie die Kette von Folgerungen geht. Also noch mal: H1, H2 und H3 seien die 3 Hypothesen für das Saccheri-Viereck, PA sei das Parallelenaxiom und AA seien die anderen Axiome der euklidischen Geometrie. Dann haben wir:

(1) Genau eine der 3 Hypothesen H1, H2 oder H3 ist richtig.

Wenn es nun gelänge zu zeigen

(2) AA + H2 Widerspruch
(3) AA + H3 Widerspruch

könnte man schließen:

(4) AA H1

Nun weiß man

(5) AA + H1 PA

Damit hätte man insgesamt

(6) AA PA

Das Parallelenaxiom wäre auf die anderen Axiome zurückgeführt.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

aha. danke sehr!
dieses saccheri viereck ist aber für die euklidische geometrie, richtig? dann in dem buch steht das etwas seltsam geschrieben. dort steht, dass gauß eine geometrie suchte in der das axiom falsch sei und er erwartete, schließlich bei den folgerungen aus der hypothese des spitzen winkels zu einem widerspruch zu kommen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das Saccheri-Viereck kann in jeder der drei Geometrien euklidisch, hyperbolisch und elliptisch gebildet werden. In der euklidischen Geometrie ist es ein Rechteck.
pormi :) Auf diesen Beitrag antworten »

puh. ok. danke für alles. sie haben mir wirklich sehr weitergeholfen. ich finde diese ganzen zusammenhänge sehr schwierig nachzuvollziehen und habe alles jetzt sicherheitshalber schon einmal verschriftlicht.

Auszug:
"Während er [Gauß] sich mit diesem Thema [5tes Axiom] intensiver auseinander setzte, schlug er einen ähnlichen Weg ein, wie die Mathematiker Saccheri und Lambert um das Axiom auf die anderen Axiome zurückzuführen. Saccheri und Lambert untersuchten andere Geometrien, in denen das fünfte Axiom Euklids keine Gültigkeit besäße und hofften so, auf einen Widerspruch zu stoßen und somit das Parallelenaxiom indirekt zu beweisen. Diese Beweisführung wird auch Widerspruchsbeweis genannt. In diesem Fall geht der Widerspruchsbeweis auf das so genannte Saccheri – Viereck zurück. Eben diesen oben erläuterten Weg [Ich habe für die Erklärung schon einmal einen Exkus für meine Facharbeit erstellt] des indirekten Beweises schlug auch Gauß ein.
Allerding gelang es Gauß nicht, dass fünfte Axiom zu beweisen. Jedoch entdeckte er eine andere, neue, von ihm antieuklidisch genannte Geometrie, die heute als nichteuklidische Geometrie bekannt ist."


abschließende frage: richtig aufgeschrieben? smile

noch einmal vielen vielen dank für die mühe und die schnelle und vor allem gute hilfe!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pormi smile
puh. ok. danke für alles. sie haben mir wirklich sehr weitergeholfen.

Wir sind hier alle per du. Es freut einen immer, wenn man helfen konnte.

Zitat:
Saccheri und Lambert untersuchten andere Geometrien, in denen das fünfte Axiom Euklids keine Gültigkeit besäße und hofften so,

Diesen Satzteil würde ich ändern, denn Saccheri und Lambert wollten nur einen Widerspruch erzeugen. Sie waren sich nicht darüber im Klaren, dass sie damit inhaltlich eine andere Geometrie betrieben, siehe z: B.

However, the main reason that Saccheri is remembered today is because of another work which was only rediscovered by Eugenio Beltrami 150 years after its first publication. In Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid cleared of every defect), published in 1733, he did important early work on non-euclidean geometry, although he did not see it as such, rather an attempt to prove the parallel postulate of Euclid.

aus

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/...s/Saccheri.html
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