Konvergenzradius wenn lim(a_k/a_k+1) existiert

18.01.2007, 17:22

hmer

Konvergenzradius wenn lim(a_k/a_k+1) existiert

Hallo.

Ich sitze gerade hinter folgender Aufgabe:

Gegeben sei die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~(a_{k} (z-z_{0})^{k}) \end{eqnarray*}$ .

Es existiere $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to {\infty}} \mid\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\mid = p < \infty \end{eqnarray*}$ .

Man zeige, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe dann gleich p ist.

D.h. ich muss doch zwei Dinge zeigen.

Sei z so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} \mid (z-z_{0}) \mid < p \end{eqnarray*}$ , dann ist das Ding konvergent.

Ist jetzt etwa

$\begin{eqnarray*} \mid (z-z_{0}) \mid < q < p = \lim_{k \to {\infty}} \mid\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\mid \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n > n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} p \leq \mid\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\mid \end{eqnarray*}$

Für diese (unendlich) n gilt auch:

$\begin{eqnarray*} \mid\frac{a_{k+1} (z-z_0)^{k+1}}{a_{k} (z-z_0)^k}\mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \mid(z-z_0)\mid \mid \frac{a_{k+1}}{a_{k}}\mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq q \mid \frac{a_{k+1}}{a_{k}}\mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \frac{q}{p} < 1 \end{eqnarray*}$ .

D.h. nach Quotientenkriterium konvergiert die Reihe für $\begin{eqnarray*} \mid (z-z_{0}) \mid < p \end{eqnarray*}$ .

Kann man das so machen?

Gruß
hmer

Mit

18.01.2007, 20:07

hmer

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hallo...

hat irgendjemand einen tip?`

gruß hmer

18.01.2007, 20:42

Abakus

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RE: Konvergenzradius wenn lim(a_k/a_k+1) existiert
Deine Idee das Quotientenkriterium für Reihen anzuwenden, ist richtig. Die Art, wie du es aufschreibst, ist jedoch nicht schlüssig (du fängst besser am Beweisanfang mit diesem Quotientenkriterium an).

Zitat:

Original von hmer
D.h. ich muss doch zwei Dinge zeigen.

Sei z so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} \mid (z-z_{0}) \mid < p \end{eqnarray*}$ , dann ist das Ding konvergent.

Welche beiden Dinge willst du zeigen ? In jedem Fall sollst du z nicht fest wählen, sondern zeigen, dass die Potenzreihe für alle z innerhalb des Konvergenzkreises konvergiert.

Zitat:

Ist jetzt etwa

$\begin{eqnarray*} \mid (z-z_{0}) \mid < q < p = \lim_{k \to {\infty}} \mid\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\mid \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n > n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} p \leq \mid\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\mid \end{eqnarray*}$

Nein, falsch. Die Quotientenfolge kann alternierend einmal größer und einmal kleiner als p sein.

Grüße Abakus smile

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