Integralrechnug

26.02.2012, 18:25

Integral12345

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Integralrechnug

Hallo,

habe hier eine Augabe mit der ich nicht klar komme.

$\begin{eqnarray*} \int_{-0,5}^{0,5} \! \frac{3^x}{1+9^x} \, dx \end{eqnarray*}$

Ideen:

Keine unglücklich

unglücklich

Jedenfalls bin ich mir nicht sicher ob man das so machen darf.

Das hoch x muss irgendwie weg denk ich mal.

$\begin{eqnarray*} 3^x=x*ln3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9^x=x*ln9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x*ln3}{1+x*ln9} \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt vielleicht noch x aus klammern.

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x*ln3}{x*(\frac{1}{x}+1*ln9)} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{ln3}{(\frac{1}{x}+ln9)} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Hab erstmal nur bis hier gerecht, falls alles falsch ist.

26.02.2012, 18:27

Integral12345

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*gerechnet

26.02.2012, 20:01

Integral12345

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Niemand eine Idee zum lösen der Aufgabe ?

26.02.2012, 20:04

Mulder

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RE: Integralrechnug

Zitat:

Original von Integral12345
Das hoch x muss irgendwie weg denk ich mal.

$\begin{eqnarray*} 3^x=x*ln3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9^x=x*ln9 \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht. Wie kommst du dazu? Wenn schon, dann

$\begin{eqnarray*} 3^x = e^{\ln(3) \cdot x} \end{eqnarray*}$

Jedenfalls führt hier die Substitution $\begin{eqnarray*} 3^x=t \end{eqnarray*}$ zum Ziel. Bedenke:

$\begin{eqnarray*} 9^x = (3 \cdot 3)^x = 3^x \cdot 3^x = (3^x)^2 \end{eqnarray*}$

26.02.2012, 20:16

Integral12345

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Zitat:

Original von Integral12345
Das hoch x muss irgendwie weg denk ich mal.

$\begin{eqnarray*} 3^x=x*ln3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9^x=x*ln9 \end{eqnarray*}$

Ich habe gedacht wegen der Formel:

$\begin{eqnarray*} ln(x^a)=a*ln(x) \end{eqnarray*}$

müsste das stimmen.

Ich versuch das dann mal so wie du gesagt hast.

26.02.2012, 20:17

Mulder

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Aber da steht ja nunmal nur $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \ln(3^x) \end{eqnarray*}$ .

Naja, mach mal...

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26.02.2012, 20:52

Integral12345

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Für die Substitution braucht man ja die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ und die ist $\begin{eqnarray*} 3^x*log(3) \end{eqnarray*}$

(hab es nicht selbst ausgerechnet braucht man Kettenregel oder ?)

Dann taucht doch das $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ wieder auf was man gar nicht haben möchte oder hab ich da jetzt einen Denkfehler gemacht.

26.02.2012, 20:57

Mulder

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Ersetz einfach jedes 3^x durch t. Einiges wird sich wegkürzen, wenn du das dx auch durch dt ersetzt.

Und ja, das 3^x kannst du mit der Kettenregel ableiten. Schreibe (siehe oben) einfach

$\begin{eqnarray*} 3^x = e^{\ln(3) \cdot x} \end{eqnarray*}$

Die e-Funktion lässt sich ja problemlos ableiten.

26.02.2012, 21:23

Integral12345

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Mehr bekomme ich nicht gekürzt.

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{t}{(t^2+1)*3^x*log(3)} \, du \end{eqnarray*}$

26.02.2012, 21:25

Mulder

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Zitat:

Original von Mulder
Ersetz einfach jedes 3^x durch t.

Im Nenner steht noch ein 3^x. Wieso ersetzt du das nicht?

Und hinten muss es dt heißen, nicht du.

26.02.2012, 21:25

Integral12345

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$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{(t^2+1)*log(3)} \, du \end{eqnarray*}$

26.02.2012, 21:27

Integral12345

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Sorry ich mein dt benutze sonst immer du aus angewohnheit

26.02.2012, 21:28

Mulder

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Ja nun, jetzt kannst du ja die Stammfunktion angeben.

1/(t²+1) ist ein Grundintegral, das steht in jeder Formelsammlung (kennt man aber eigentlich auch).

26.02.2012, 21:50

Integral12345

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1/(t²+1) kenne ich^^

In den letzten Minuten ging alles sehr schnell.

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{log(3)} *\int \! \frac{1}{t^2+1} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{log(3)} *arctan(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{log(3)} *arctan(3^x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [\frac{1}{log(3)} *arctan(3^{0,5})]- [ \frac{1}{log(3)} *arctan(3^{-0,5})] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1,097412388 \end{eqnarray*}$

Hab wohl schon wieder irgendwo einen Fehler gemacht Musterlösung sagt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{6*ln3} \end{eqnarray*}$

26.02.2012, 21:57

Mulder

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Tja, keine Ahnung. Irgendwas wirst du wohl falsch eintippen. Jedenfalls ist

$\begin{eqnarray*} \arctan(\sqrt{3 }) = \frac{\pi}{3} \quad \text{und} \quad \arctan \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) = \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

26.02.2012, 22:05

Integral12345

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Komischer Taschenrechner, wenn ich $\begin{eqnarray*} tan^{-1}(3^{\frac{1}{2}}) \end{eqnarray*}$ kommt etwas anderes raus als bei $\begin{eqnarray*} tan^{-1}(3^{0,5}) \end{eqnarray*}$

Naja habs jetzt auch raus.

Danke smile

smile

26.02.2012, 22:07

Mulder

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Hast du eventuell eine Klammer vergessen? Wenn du im Taschenrechner einfach 3^1/2 eingibst, interpretiert dein Rechner das als

$\begin{eqnarray*} \frac{3^1}{2} \end{eqnarray*}$

Du musst schon 3^(1/2) eintippen.

Anders könnt ich es mir auch nicht erklären.

26.02.2012, 22:17

Integral12345

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Ja könnte sein.

Aber ich glaube ich habe jetzt den richtigen Fehler gefunden.

In der Lösung steht was von $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ bei uns steht aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{log(3)} \end{eqnarray*}$

Wenn man das log(3) durch ln austauscht kommt das selbe wie in der Musterlösung raus.

Versteh jetzt nur nicht warum dort ln steht verwirrt

verwirrt

Weil die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ war irgendwas mit log und nicht mit ln.

26.02.2012, 22:33

Mulder

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Wir haben es hier doch auch mit dem natürlichen Logarithmus zu tun. Die meisten schrieben dafür ln, das ist eigentlich auch die korrekte Bezeichnung. Da aber oft auch für den ln einfach log geschrieben wird, hab ich mir da jetzt nichts bei gedacht. Hast du da jetzt mit dem Zehner-Logarithmus gerechnet?

Gemeint ist hier immer der natürliche Logarithmus. Du siehst das ja bei

$\begin{eqnarray*} 3^x = e^{\ln(3) \cdot x} \end{eqnarray*}$

Wenn du das ableitest, kommt der Faktor ln(3) hinzu.

26.02.2012, 22:47

Integral12345

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Hast du da jetzt mit dem Zehner-Logarithmus gerechnet?

Ja am Anfang schon.

Jetzt weiß ich es nochmals Danke ^^

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