Zeige, dass Funktion nicht Holomorph

26.02.2012, 19:17

Ungewiss

Zeige, dass Funktion nicht Holomorph

Hallo, ich beiße mir gerade an folgender Aufgabe die Zähne aus, die im Kontext von Gebietstreue und Maximumprinzip auftaucht:

Sei G ein beschränktes Gebiet und f eine auf G erklärte Funktion. Es gelte
$\begin{eqnarray*} \forall S>0\exists\rho>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |f(z)|\geq S \end{eqnarray*}$ für alle z mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{dist}(z,\partial G)\leq \rho \end{eqnarray*}$ gilt.
(D.h. f strebt bei Annäherung an den Rand gleichmässig gegen unendlich)
Zeige, dass f nicht holomorph ist.

Ich denke mal man muss das Maximumprinzip anwenden und einen Widerspruch zur Annahme herleiten, dass f holomorph auf G ist, da ich nicht sehe wie einem Gebietstreue hier helfen könnte, aber auch bei der Anwendung vom Maxprinzip habe ich meine Probleme, da ich nicht weiß, wie man nachweisen könnte, dass |f| ein lokales Maximum in G annimmt, dann hätte man einen Widerspruch, da f sicher nicht konstant ist.

Ich habe schon versucht Kreise in der Nähe des Randes zu betrachten, in denen f keine Nullstellen besitzt, aber dann bleibe ich wieder hängen.

Also für einen Ansatz wäre ich wirklich dankbar!

26.02.2012, 20:01

gonnabphd

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Hi,

Nach Annahme gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|f(z)|} \to 0 \qquad \text{ für } |z|\to 1 \end{eqnarray*}$ . Hätte nun $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ keine Nullstellen in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , wie könntest du dann argumentieren?

Wie kannst du den allgemeinen Fall zurückführen, auf den Fall, dass f(z) keine Nullstellen hat (bastle dir eine neue Funktion aus f)?

Ich hoffe, das bringt dich weiter und ist nicht zu viel vorgekaut. smile

Grüsse

26.02.2012, 20:57

Ungewiss

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Hey,

Ich kann nicht nachvollziehen, woher der Grenzwert |z|->1 kommt, wenn du dazu noch ein erklärendes Wort übrig hast nehme ichs gerne an.

Aber ich versuche mal mit deiner vorgeschlagenen Fallunterscheidung weiterzumachen.

Also angenommen f wäre holomorph auf G und nullstellenfrei. Es gibt dann ein $\begin{eqnarray*} z_0\in G \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline{K_r(z_0)}\subset G \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} H = \{z\in G | \mathrm{dist}(z,\partial G) >\mathrm{dist}(z_0,\partial G)-r\}\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ und wieder ein Gebiet( zumindest glaube ich das, wenn ichs mir vorstelle)
Nach Minimumprinzip nimmt $\begin{eqnarray*} f|_{\overline H} \end{eqnarray*}$ sein Minimum M auf $\begin{eqnarray*} \partial H \end{eqnarray*}$ an.

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} \rho>0 \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} |f(z)|> M+1 \end{eqnarray*}$ für alle z mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{dist}(z,\partial G)\leq \rho \end{eqnarray*}$ . Sei OE $\begin{eqnarray*} \rho<\frac{\mathrm{dist}(z_0,\partial G)-r}{2}. \end{eqnarray*}$

Se i $\begin{eqnarray*} K=\{z\in G | \mathrm{dist}(z,\partial G) >\rho\}\supset H \end{eqnarray*}$ . Auf $\begin{eqnarray*} \partial K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |f|> M+1 \end{eqnarray*}$ , also nimmt $\begin{eqnarray*} f |_{\overline K} \end{eqnarray*}$ sein Minimum nicht auf dem Rand an, ein Widerspruch.

Also meine Anschauung war jetzt so, dass ich Gebiete anschaue, die noch in G liegen und einen gewissen Abstand vom Rand haben.

Falls f Nullstellen hat, betrachte $\begin{eqnarray*} \exp(f) \end{eqnarray*}$ . Ich bin jetzt nicht mehr so auf deinen Ansatz eingegangen, weil ich nicht wusste, wie man ihn weiterführt smile

26.02.2012, 21:09

gonnabphd

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Zitat:

Ich kann nicht nachvollziehen, woher der Grenzwert |z|->1 kommt, wenn du dazu noch ein erklärendes Wort übrig hast nehme ichs gerne an.

Ah, ich hatte mir innerlich $\begin{eqnarray*} G = U_1(0) \end{eqnarray*}$ vorgestellt, als ich meine Idee durchgedacht hab. Eigentlich sollte das

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|f(z)|} \to 0 \qquad \text{ für } z\to \partial G \end{eqnarray*}$

heissen. Also einfach: Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ so dass

$\begin{eqnarray*} d(z,\partial G) < \delta\quad \Rightarrow \frac{1}{|f(z)|} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Dein Beweis mit dem Minimumsprinzip sollte passen. (ich hatte an eine Anwendung des Maximumsprinzips auf 1/f(z) gedacht, was dasselbe ist)

Zitat:

Falls f Nullstellen hat, betrachte $\begin{eqnarray*} \exp(f) \end{eqnarray*}$ . Ich bin jetzt nicht mehr so auf deinen Ansatz eingegangen, weil ich nicht wusste, wie man ihn weiterführt smile

Achtung: $\begin{eqnarray*} |f(z)|\to \infty \not \Rightarrow |\exp(f(z))| \to \infty \end{eqnarray*}$
Oder hattest du etwas anderes damit gemeint?

26.02.2012, 21:32

Ungewiss

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Danke für die zügigen Antworten!

Ich hab genau die Implikation angenommen, auf deren Nichtbestehen du aufmerksam machtest. Es kann nicht sowohl Real als auch Imaginärteil bei Annäherung an den Rand beschränkt bleiben, also hätte ich es mit \exp((1-i)f(z). Versucht, nur wird mir gerade klar, dass diese auch gegen -oo gehen könnten. Sieht wohl so aus als bräuchte ich einen Hinweis Augenzwinkern

26.02.2012, 21:41

gonnabphd

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Wenn $\begin{eqnarray*} f(z_0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man $\begin{eqnarray*} f(z) = (z-z_0)^m g(z) \end{eqnarray*}$ mit einer auf G holomorphem Funktion g(z) und einem natürlichen m schreiben, so dass $\begin{eqnarray*} g(z_0) \ne 0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn g nun keine Nullstellen hätte, dann ... ? Sonst ...? Wieviele Nullstellen kann f(z) haben?

26.02.2012, 21:51

Ungewiss

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Die Nullstellen von f liegen alle in einer kompakten in G enthaltenen Menge, da f nicht konstant und nach Annahme holomorph ist, kann es nur endlich viele geben.d.h

$\begin{eqnarray*} f=g\cdot\prod_{k=1}^n(z-z_k)^{\mu_k} \end{eqnarray*}$

Mit einer auf G Nullstellenfreien und holomorphen Funktion g. Das Produkt ist als Polynom auf $\begin{eqnarray*} \overline G \end{eqnarray*}$ beschränkt, deshalb geht |g| bei Annäherung an den Rand gegen oo

26.02.2012, 22:05

gonnabphd

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Jo. Damit bist du dann auch schon fertig.

26.02.2012, 22:06

Ungewiss

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Nice, vielen Dank!

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