Tschebeyscheff

18.01.2007, 17:33	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebeyscheff HI! könnt ihr mir bei dieser aufgabe helfen? sie ist wohl so ähnlich wie diese hier , nur mit tschebeyscheff statt legendre: Beweise: alle p $\begin{eqnarray} \in \Pi_3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p(\frac{-\sqrt{2}}{2})=y_0 , p(\frac{\sqrt{2}}{2})=y_1 \end{eqnarray}$ (y_0,y_1 sind beliebig reelle Zahlen) besitzen den gleichen Integralwert $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1}~ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}p(x)~dx \end{eqnarray}$ . Der Wert soll in Abhängigkeit von y_0, y_1 angegeben werden. also ich hab das mal versucht so ähnlich zu machen, betrachte folgendes poly: $\begin{eqnarray} p(x) = c_0 T_0(x) + c_1 T_1(x) + c_2 T_2(x) + c_2 T_3(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T_0(x)=1, T_1(x)=x, T_2(x)=2x^2-1, T_3(x)=4x^3-3x \end{eqnarray}$ nur das zu integrieren ist mir nicht gelungen, das ist etwas doof mit der wurzel im integral... gibt es hier vielleicht noch einen anderen weg? könnte man z.B. zeigen, dass alle $\begin{eqnarray} p \in \Pi_1 \end{eqnarray}$ exakt integriert werden, und daraus schließen, dass auch alle polys von Grad 2n+1 = 3 exakt i ntegriert werden, da die stützstellen ja grad die nullstellen des (n+1).= 2. tschebeypolynoms sind? nur wie bekommt man dann den integralwert heraus?? viele grüße kingskid edit: T_2 und T_3 verbessert, thx@arthur dent
18.01.2007, 18:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Habt ihr nicht die Orthogonalitätseigenschaft http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_p...s#Orthogonality gehabt? Wende die mal speziell für m=0, also $\begin{eqnarray} T_0(x)=1 \end{eqnarray}$ an. EDIT: Ach ja, kleiner Schreibfehler bei dir: $\begin{eqnarray} T_2(x)=2x^2-1, T_3(x)=4x^3-3x \end{eqnarray}$
18.01.2007, 21:00	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, I see neh, nicht wirklich, leider war unser semester bissle zu kurz dafür... aber ich würds trotzdem gern verstehen... wiee hängen die Nullstellen von 2.Polynom mit dem 3.Poly zusammen? weil es gilt doch $\begin{eqnarray} T_3( \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} T_3( \frac{-\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}$ warum ist das so? für das integral gilt dann mit wiki folgendes: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1}~ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} p(x)~dx = c_0 \pi \end{eqnarray}$ und für c_0: $\begin{eqnarray} p(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = c_0 - \frac{\sqrt{2}}{2} c_1 + \frac{\sqrt{2}}{2} c_3 = y_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(\frac{\sqrt{2}}{2}) = c_0 + \frac{\sqrt{2}}{2}c_1 - \frac{\sqrt{2}}{2} c_3 = y_1 \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} c_0 = \frac{1}{2} (y_0 + y_1) \end{eqnarray}$ stimmt das so?
18.01.2007, 21:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt alles. Die Tschebyscheff-Polynome $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ sind für gerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gerade Funktionen, und für ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade Funktionen. Leicht zu merken, und auch leicht nachzuweisen.
18.01.2007, 21:46	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine hilfe! wow, was für die tschebeyscheff-polys alles gilt ! diese eigenschaft kann man doch eigentlich schon an der rekursiv-def. sehen, oder? $\begin{eqnarray} T_{n+1} = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x) \end{eqnarray}$ und für die Legendre-Polys müsste das ja auch gelten? `

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