Zahl hoch i

26.02.2012, 23:22	Stuttgart	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahl hoch i Meine Frage: Was bedeutet eigentlich $\begin{eqnarray} 3^i,\ 5^i \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} z^i,\ z\in \mathbb C \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} 3^2 \end{eqnarray}$ heißt ja, die Zahl wird 2 mal mit sich selbst multipliziert, aber was bedeutet es, wenn eine Zahl hoch eine komplexe Zahl genommen wird?
26.02.2012, 23:26	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst gilt ja erstmal: $\begin{eqnarray} a^i = e^{\ln(a)i} \end{eqnarray}$ und das ist nach der Eulerschen Identität: $\begin{eqnarray} a^i = \cos(\ln(a))+i\sin(\ln(a)) \end{eqnarray}$
26.02.2012, 23:30	Stuttgart	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ja stimmt. Und was bedeutet z.B. $\begin{eqnarray} 3^{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ ?
27.02.2012, 02:11	NichtBekannt112	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann einen rationalen Exponenten ja allgemein folgendermaßen umschreiben $\begin{eqnarray} x^\frac{a}{d}=\sqrt[d]{x^{a}} \end{eqnarray}$ also beispielsweise $\begin{eqnarray} 61^\frac{7}{13}=\sqrt[13]{61^{7} } \end{eqnarray}$ . Steht im Exponenten eine Kommazahl, dann kann man diese - selbst wenn sie irrational ist - als rationale Zahl schreiben oder zumindest annähern. Wenn man die ersten Stellen von $\begin{eqnarray} {\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ betrachtet, dann erhält man als sehr ungenaue Näherung $\begin{eqnarray} {\sqrt{2}}=1,41 \end{eqnarray}$ , also könnte man zu deinem Ausdruck sagen $\begin{eqnarray} 3^{1,41}=3^\frac{141}{100} =\sqrt[100]{3^{141} } \end{eqnarray}$ Wäre man noch etwas genauer, so könnte man sagen $\begin{eqnarray} {\sqrt{2}}=1,4142 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3^{1,4142}=3^\frac{14142}{10000} =\sqrt[10000]{3^{14142} } \end{eqnarray}$ . usw. Hoffe, ich konnte dir damit weiterhelfen (und ich hoffe auch, dass das so passt)
27.02.2012, 03:35	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
also als Limes einer irrationalen Folge oder $\begin{eqnarray} 3^{\sqrt 2}= e^{\sqrt 2 \ln(3)} \end{eqnarray}$

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