Äquivalenzklassen von Paaren

27.02.2012, 09:52

marioschluse

Äquivalenzklassen von Paaren

Meine Frage:
Hallo Leute,
wie bestimm man eigentlich die Äquivalenzklassen von Zahlenpaaren?
Also für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ sind die Äquivalenzklassen sozusagen die Restklassen mit modulo 3. (Wobei $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ aus der den Elementen 0,1, und 2 besteht...)
Wie sieht es bei $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ ?
Ich kann mir irgendwie nichts sinnvolles schlussfolgern...

Meine Ideen:
Ich weiß nur, dass es für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ 3 Äquivalenzklassen gibt.

27.02.2012, 11:37

Math1986

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RE: Äquivalenzklassen von Paaren
Ich verstehe die Frage nicht, wie sieht denn deine Äquivalenzrelation aus?

27.02.2012, 12:10

marioschluse

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RE: Äquivalenzklassen von Paaren
Also, es handelt sich um endliche Gruppen.
Gruppen bestehen ja aus einer Menge, und eine Operation.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe und definiert als die die Menge aller Restklassen
(also [0],[1],[2]) mit modulo3 (ist das die Äquivalenzrelation???) und mit der Operation "+".
Jetzt kann man diese 2 Gruppen auch verknüpfen.

Aber ich weiß nicht was dabei rauskommen soll oder wie man ein Paar von Restklassen verstehen soll. ...

27.02.2012, 12:12

Math1986

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RE: Äquivalenzklassen von Paaren
Poste mal die komplette Aufgabenstellung.

27.02.2012, 13:47

marioschluse

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Ich weiß nicht ob das was bringt, aber hier die Aufgabenstellung

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ nicht isomorph sein köonnen.
Hinweis: in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ hat jedes Element eine Ordnung kleiner gleich 3.

27.02.2012, 14:12

Math1986

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Ja, das bringt was - du hast die Aufgabenstellung bisher falsch und unverständlich wiedergegeben, mit Äquivalenzklassen hat diese Aufgabe nämlich erstmal gar nichts zu tun.

Ist dir klar, wie ein Isomorphismus zwischen zwei Gruppen im Allgemeinen aussieht?
Insbesondere erhält er die Ordnung der Elemente, d.h. du muss dir die Ordnung der Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z 3\times\mathbb Z 3 \end{eqnarray*}$ miteinander vergleichen.

27.02.2012, 14:49

marioschluse

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Hi Math 1986,
meine Frage hat sich ja eigentlich auch nicht auf die Aufgabenstellung bezogen,
sondern sie ist aus der Aufgabenstellung entsprungen.

Um die Aufgabe zu lösen muss man ja die Ordnungen bestimmen.
Die Ordnung eines Elements ist die Anzahl der Verknüpfungen des Elements, bis das neutrale Element
rauskommt.
Aber wie verknüpfe ich ein Element mit sich selbst, das ein Paar ist???

Sorry, dass ich mich so schlecht ausgedrückt habe, aber das kommt davon, wenn man nicht so viel Ahnung von der Materie hat und falsche Ausdrücke verwendet XD

27.02.2012, 15:15

Math1986

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Zitat:

Original von marioschluse
Aber wie verknüpfe ich ein Element mit sich selbst, das ein Paar ist???

Die Verknüpfung erfolgt komponentenweise, mach dir dazu eine Verknüpfungstafel

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