Testvorbereitung zu Folgen und Reihen

27.02.2012, 11:45

HansimGlück

Testvorbereitung zu Folgen und Reihen

Hallo,

ich bin gerade in der Testvorbereitung für den Entscheidungstest der Mathe 1 Übung. Das Stoffgebiet fällt in die Analysis.

Ich werde bestimmt viele kleinere Fragen haben, daher dachte ich mir es wäre sinnvoller einen Sammelthread aufzumachen.

27.02.2012, 11:46

HansimGlück

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Frage 1
1.
[attach]23295[/attach]

Wäre:
$\begin{eqnarray*} \frac{111}{n^2}*sin(n)\leq \frac{111}{n}*sin(n)\leq \frac{111}{n} \end{eqnarray*}$ und somit die Folgerung, dass a_n konvergent ist richtig?

27.02.2012, 11:53

NichtBekannt112

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RE: Frage 1
Die Abschätzungen sind meiner Meinung nach okay, den Sinus nach oben mit 1 abzuschätzen ist hier sehr geschickt. Unter diesem Gesichtspunkt könntest du die untere "Schranke" nochmal überdenken, dann wird es noch etwas einfacher smile

27.02.2012, 12:08

HansimGlück

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Hast Recht Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{-111}{n}*sin(n)\leq \frac{111}{n}*sin(n)\leq \frac{111}{n} \end{eqnarray*}$

Frage 2:
Das Sinus stört mich ein wenig bei der Index n(Epsilon) Berechnung...

Der Ansatz wäre (bei Epsilon = 1/100):
$\begin{eqnarray*} | \frac{111}{n}*sin(n) | \leq \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$

Wie geh ich nun mit dem Sinus im Betrag um? Die Sinusfunktion kann sich im Betrag ja lediglich zwischen 0 und 1 bewegen.

$\begin{eqnarray*} \frac{111}{n} \leq \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 111*100 \leq n \end{eqnarray*}$

Wäre das richtig?

27.02.2012, 12:16

HansimGlück

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Frage 3
3.
[attach]23298[/attach]
Beschränktheit, Monotie und Konvergenz soll untersucht werden.

C ist beschränkt mit 0 und 1,8, keine Monotonie und auf Grund der Alternation auch keine Konvergenz?
D ist beschränkt mit 0 und 0,18, keine Monotonie und divergent.
E ist beschränkt mit 0 und 0,17, keine Monotonie und divergent.
F ist beschränkt mit 0 und 1, keine Monotonie und divergent.
G ist beschänkt mit 0 und 1, monoton fallend und konvergent.
H ist beschränkt mit 0 und 1, keine Monotonie und divergent.

Bin mir bei der Aufgabe leider sehr unsicher was die Konvergenzbetrachung anbelangt.

27.02.2012, 12:22

HansimGlück

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Aufgabe 4
4.
Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} c_{n} =\frac{ n^{-1^n}}{n} \end{eqnarray*}$ ist zu berechnen:
Mach ich hier eine Fallunterscheidung?
Bei geraden N ist der Grenzwert 1, bei ungeraden -1?

27.02.2012, 12:32

NichtBekannt112

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Zitat:

Original von HansimGlück
Hast Recht Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{-111}{n}*sin(n)\leq \frac{111}{n}*sin(n)\leq \frac{111}{n} \end{eqnarray*}$

Du kannst den Sinus links dann weglassen, wenn du ihn mit -1 nach unten abschätzt, also
$\begin{eqnarray*} \frac{-111}{n}\leq \frac{111}{n}*sin(n)\leq \frac{111}{n} \end{eqnarray*}$
und dann sieht das auch noch schöner aus smile

Zitat:

Frage 2:
Das Sinus stört mich ein wenig bei der Index n(Epsilon) Berechnung...

Der Ansatz wäre (bei Epsilon = 1/100):
$\begin{eqnarray*} | \frac{111}{n}*sin(n) | \leq \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$

Wie geh ich nun mit dem Sinus im Betrag um? Die Sinusfunktion kann sich im Betrag ja lediglich zwischen 0 und 1 bewegen.

$\begin{eqnarray*} \frac{111}{n} \leq \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 111*100 \leq n \end{eqnarray*}$

Wäre das richtig?

Genau, die Abschätzung
$\begin{eqnarray*} | \frac{111}{n}*sin(n) |\leq\frac{111}{n} \end{eqnarray*}$ ist vollkommen korrekt.

(Gedanke also richtig, du müsstest es nur noch richtig Ausformulieren. Halte dich dabei am besten an die Definition Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \forall_{\epsilon>0} \exists_{N\in \mathbb N} \forall_{n\geq N} : |a_{n} -a|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .)

27.02.2012, 12:33

Valdas Ivanauskas

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RE: Frage 3
Alle Folgen sind beschränkt. (guck Dir Deine Schranken noch mal genau an)
Nur (g) ist monoton aber nicht streng monoton.
Nur (e) und (g) sind konvergent.

27.02.2012, 12:38

NichtBekannt112

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RE: Frage 3

Zitat:

Original von HansimGlück
C ist beschränkt mit 0 und 1,8, keine Monotonie und auf Grund der Alternation auch keine Konvergenz?

Da bei C auch negative Werte vorkommen, ist die untere Schranke etwas anderes. Und ja, durch die Alternation keine Konvergenz smile

Zitat:

Original von HansimGlück
E ist beschränkt mit 0 und 0,17, keine Monotonie und divergent.

Die Teilfolge $\begin{eqnarray*} 0.17, 0.017, 0.0017, 0.00017, ... \end{eqnarray*}$
ist augenscheinlich eine Nullfolge, also haben alle Teilfolgen bei E den Grenzwert 0
Hier müsste also stehen "Konvergenz (gegen 0)" smile

Rest ist soweit in Ordnung Freude

27.02.2012, 12:40

NichtBekannt112

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RE: Aufgabe 4

Zitat:

Original von HansimGlück
4.
Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} c_{n} =\frac{ n^{(-1^n)}}{n} \end{eqnarray*}$ ist zu berechnen:
Mach ich hier eine Fallunterscheidung?
Bei geraden N ist der Grenzwert 1, bei ungeraden -1?

Der Grenzwert für gerade n ist richtig, den für ungerade solltest du nochmal überdenken smile

27.02.2012, 12:54

HansimGlück

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RE: Frage 3
Danke euch Beiden!

@NichtBekannt112:
Ja, stimmt und wollte ich auch machen nur vergessen die Löschtaste zu drücken beim Sinus Augenzwinkern

Dass mit der Teilfolge ist gut zu wissen.
Die Teilfolgen einer konvergenten Folge sind ebenfalls konvergent. Der Umkehrschluss gilt ebenfalls, wenn jede Teilfolge konvergiert, dann konvergiert auch die dazugehörige Folge.

4.
Ach, stimmt. Bei ungeraden n ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ?

27.02.2012, 13:02

NichtBekannt112

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RE: Frage 3

Zitat:

Original von HansimGlück
wenn jede Teilfolge konvergiert, dann konvergiert auch die dazugehörige Folge.

Wenn alle Teilfolgen den gleichen Grenzwert haben, dann schon.
Denn betrachtet man $\begin{eqnarray*} a_{n}=(-1)^{n} \end{eqnarray*}$ , hat man zwei Teilfolgen mit Grenzwert 1 und -1, jedoch ist die Folge selbst divergent.
Aber ich bin sicher das wusstest du, du hast dich in dem Moment nur etwas unklar ausgedrückt smile

Zitat:

Original von HansimGlück
4.
Ach, stimmt. Bei ungeraden n ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ?

Bei ungeradem n ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ die zugehörige Teilfolge, der Grenzwert dabei ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{2n+1} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ .
Das Ergebnis hier sollte kein großes Hindernis mehr sein Augenzwinkern

28.02.2012, 12:47

HansimGlück

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$\begin{eqnarray*} c_{n} =\frac{ n^{-1^n}}{n} \end{eqnarray*}$ wäre entsprechend divergent, obwohl beide Teilfolgen konvergieren, jedoch zu unterschiedlichen Grenzwerten hin.

Danke!

28.02.2012, 23:11

NichtBekannt112

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29.02.2012, 19:53

HansimGlück

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Frage 5
5.
[attach]23329[/attach]
a) Ich glaube das kann ich. Mein Ansatz wäre, hier erst Mal eine Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden n zu machen und dann bei den Fällen die k zu untersuchen, um auf Konvergenz, Divergenz und bestimmte Divergennz zu kommen.

Für k<12 wäre die Folge konvergent.
Für 12 <= k <= 14 divergent und für k>14 bestimmt divergent.

b) Das bereitet mir ein wenig Kopfzerbrechen. Wie wäre hier denn der Ansatz?

29.02.2012, 21:48

NichtBekannt112

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RE: Frage 5
zu a) Fallunterscheidung hört sich schon mal gut an, aber jetzt kommt mein Problem mit der Aufgabe : Ich hab mir die ganze Zeit Gedanken darüber gemacht, aber ich komm einfach nicht drauf, wie du auf deine Lösung gekommen bist (wahrscheinlich übersehe ich irgendwas). Wenn du mir erklärst, wie du auf dein Ergebnis kommt, kann ich dir vielleicht sagen, ob das so richtig ist
smile

zu b)
Wenn du dir die Ungleichung anschaust, siehst du auf Grund des Betrages auf der linken Seite, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ab diesem n nicht negativ ist.
--> Du weißt also, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine - ab hinreichend großem n - Nullfolge von nicht-negativen reellen Zahlen ist, jetzt erinnere dich mal an das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium für Konvergenz. Vielleicht fällt dir was auf. smile

01.03.2012, 12:10

HansimGlück

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RE: Frage 5

Zitat:

Original von NichtBekannt112
zu a)

Ich habe die falsche (aber ähnliche) Angabe angefügt ... Kein Wunder, dass du nicht auf die Lösung gekommen bist Augenzwinkern

Sorry!
Also, hier nun die richtige Angabe:
[attach]23335[/attach]
und hierzu meine Antwort:

Zitat:

Original von HansimGlück
Für k<12 wäre die Folge konvergent.
Für 12 <= k <= 14 divergent und für k>14 bestimmt divergent.

Wenn wir aber schon dabei sind, hier meine Antwort für die gestern fälschlicherweise angehängte Aufgabe:
[attach]23329[/attach]

Für k< -5 wäre die Folge bestimmt divergent.
Für -5<=k<=-3 divergent und für k>-3 konvergent.

Hoffe, dass das so richtig ist.

Zitat:

Original von NichtBekannt112
zu b)
Wenn du dir die Ungleichung anschaust, siehst du auf Grund des Betrages auf der linken Seite, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ab diesem n nicht negativ ist.
--> Du weißt also, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine - ab hinreichend großem n - Nullfolge von nicht-negativen reellen Zahlen ist, jetzt erinnere dich mal an das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium für Konvergenz. Vielleicht fällt dir was auf. smile

$\begin{eqnarray*} | a_{n} - 0 | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$
Mehr fällt mir hierzu leider nicht ein bzw. fällt mir nichts auf verwirrt

01.03.2012, 12:32

HansimGlück

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Frage 6 - Majoranten- und Minorantenkriteirum
a) konvergent
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{7n^3+18n+2}{n^5+100}=\sum\limits_{n=17}^\infty \frac{7n^3+\frac{18}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{n^5+\frac{100}{n^3}} \end{eqnarray*}$

Die Klammerausdrücke im Zähler und Nenner würde ich nun mit 0 abschätzen?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{7}{n^2}\leq \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{10}{n^2} \end{eqnarray*}$
Die Majorante ist/ähnelt der hyperharmonischen Reihe und ist konvergent. Entsprechend wäre auch die zu untersuchende Reihe konvergent?

b) divergent
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{n+(-1)^n}{n^2-7} =\sum\limits_{n=17}^\infty \frac{1+\frac{(-1)^n}{n}}{n-\frac{7}{n}}\geq \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Wäre das so zulässig und richtig?

c) divergent
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{n^2-cos(n)}{4n^3}\geq \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{n^2-1}{4n^3}=\sum\limits_{n=17}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Somit wiederum der Vergleich mit der Harmonischen Reihe, welche divergent ist?...

Bin mir bei den Vergleichskriterien leider recht unsicher...

01.03.2012, 12:33

NichtBekannt112

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RE: Frage 5

Zitat:

Original von HansimGlück
Wenn wir aber schon dabei sind, hier meine Antwort für die gestern fälschlicherweise angehängte Aufgabe:
[...]
Für k< -5 wäre die Folge bestimmt divergent.
Für -5<=k<=-3 divergent und für k>-3 konvergent.

Hoffe, dass das so richtig ist.

Das stimmt so und da die Aufgabenstellung verlangt, dass $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , ist es für alle k konvergent smile

Zitat:

Original von HansimGlück
$\begin{eqnarray*} | a_{n} - 0 | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$
Mehr fällt mir hierzu leider nicht ein bzw. fällt mir nichts auf verwirrt

Richtig, also hast du jetzt 2 Gleichungen und eine Information, die gelten, bzw. stimmen :
- $\begin{eqnarray*} \forall _{\epsilon>0} \exists _{N\in \mathbb N } \forall _{n\geq N} : |a_{n}-0|<\epsilon \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} |b_{n}-17|\leq a_{n} \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist eine Folge nicht negativer Zahlen => $\begin{eqnarray*} |a_{n}|=a_{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du diese drei Informationen so verbinden, dass du per $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium zeigst, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_{n}=17 \end{eqnarray*}$ smile

01.03.2012, 12:50

NichtBekannt112

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RE: Frage 6 - Majoranten- und Minorantenkriteirum
a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{7n^3+18n+2}{n^5+100}=\sum\limits_{n=17}^\infty \frac{7n^3+\frac{18}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{n^5+\frac{100}{n^3}} \end{eqnarray*}$
Für eine Majorante musst du den Ausdruck nach oben abschätzen, also musst du den Zähler vergrößern oder den Nenner verkleinern
Also kannst du den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{100}{n^3} \end{eqnarray*}$ im Nenner mit 0 nach unten abschätzen, also verkleinern.
Im Zähler musst du eine Abschätzung nach oben finden, also musst du ein a finden, so dass für $\begin{eqnarray*} n\geq17 \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} 7n^3+\frac{18}{n^2}+\frac{2}{n^3}\leq an^3 \end{eqnarray*}$
Aber du hast recht, es läuft auf eine Variante der hyperharmonischen Reihe raus.

b) Du willst hier völlig zurecht das Minorantenkriterium anwenden, also musst du nach unten abschätzen. Das bedeutet : Zähler verkleinern und Nenner vergrößern. Den Nenner schätzt du wieder richtig mit 0 nach oben ab. Allerdings behauptest du für den Zähler, dass $\begin{eqnarray*} 1+\frac{(-1)^n}{n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn du mal ein ungerades n einsetzt, siehst du, dass das nicht stimmt - du musst also mit einem positiven, aber kleinerem Wert als 1 nach unten abschätzen.

c) Die erste Abschätzung ist richtig, allerdings ist das Gleichheitszeichen bei der zweiten Umformung falsch, du musst erneut eine Abschätzung für den Zähler vornehmen. Finde also ein b mit $\begin{eqnarray*} 0<b<1 \end{eqnarray*}$ , dass gilt $\begin{eqnarray*} n^2-1 \geq bn^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn du das gefunden hast, ist der Weg zu (einer Variante der) harmonischen Reihe nicht mehr weit smile

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