kurzer beweis zur lin. unabhängigkeit/abhängigkeit

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27.02.2012, 11:58	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
kurzer beweis zur lin. unabhängigkeit/abhängigkeit Frage: Wenn x,y lin. unabhängig sind und x,y,z lin. abhängig sind, dann liegt z in der linearen Hülle von x,y. Begründen sie, ob richtig oder falsch. Antwort: Dies ist wahr. x,y lin. unabhängig => $\begin{eqnarray} 0 = \lambda_1 x + \lambda_2 y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda_1 = \lambda_2 = 0 \end{eqnarray}$ , d.h. die triviale Darstellung des Nullvektors. x,y,z lin. unabhängig => eine nicht triviale darstellung des Nullvektors & mind. einer der Vektoren aus dieser Familie lässt sich als LK der anderen darstelle: $\begin{eqnarray} z = \lambda_1 x + \lambda_2 y \end{eqnarray}$ . Daher liegt z in der linearen Hülle von x,y , die als die Menge aller lin. Kombinationen einer Familie von Vektoren (x,y) definiert wird. Ist das in Ordnung?
27.02.2012, 12:52	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist meines Erachtens nach etwas ungenau. Wie du richtig erkannt hast, gibt es einen Vektor, den du bei linearer Abhängigkeit als Linearkombination der anderen darstellen kannst. Wieso sollte das aber z sein? Fang so an: $\begin{eqnarray} \lambda_1x + \lambda_2y + \lambda_3z \stackrel{!}{=} 0 \end{eqnarray}$ Was kannst du über $\begin{eqnarray} \lambda_3 \end{eqnarray}$ aussagen?
27.02.2012, 13:44	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
hab den fehler gefunde. erstmal sind $\begin{eqnarray} \lambda_x = \lambda_y = 0 \end{eqnarray}$ , dass bekomme ich als Information aus der Menge von x und y raus, da diese linear unabhängig ist. Wenn ich nun die zweite Menge betrachte {x,y,z} , von der ich weiß, dass sie linear abhängig ist, gilt per Definition, dass es mindestens 1 Skalar ungleich Null ist, sodass eine nicht-triviale Linearkombination exestiert. Da $\begin{eqnarray} \lambda_x = \lambda_y = 0 \end{eqnarray}$ lässt sich folgern, dass $\begin{eqnarray} \lambda_z \neq 0 \end{eqnarray}$ sein muss. Außerdem kann z dann als Linearkombination aus x und y darstellen: Per Linearkombination ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} \lambda_z \cdot z = \lambda_x \cdot x + \lambda_y \cdot y \end{eqnarray}$ , woraus folgt eine gültige LK für z folgt: $\begin{eqnarray} z = \frac{\lambda_x}{\lambda_z} \cdot x + \frac{\lambda_x}{\lambda_y} \cdot y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda_z \neq 0 \end{eqnarray}$ . Daher liegt z in der linearen Hülle von x und y. So besser?
27.02.2012, 13:50	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr viel besser. Würde nur noch mit den Vorzeichen aufpassen, aber das ist eine Kleinigkeit: $\begin{eqnarray} \lambda_x x + \lambda_y y + \lambda_z z = 0 \Leftrightarrow \lambda_x x + \lambda_y y = -\lambda_z z \Leftrightarrow -\frac{\lambda_x}{\lambda_z} x -\frac{\lambda_y}{\lambda_z} = z = \lambda_1 x + \lambda_2 y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda_1 := -\frac{\lambda_x}{\lambda_z} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2 := -\frac{\lambda_y}{\lambda_z} \end{eqnarray}$ Dann hättest du das mit den Vorzeichen auch erledigt.
27.02.2012, 13:56	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Oben habe ich ein y vergessen. Und noch ein Hinweis: Wenn du {x,y,z} betrachtest, muss nicht $\begin{eqnarray} \lambda_x = \lambda_y = 0 \end{eqnarray}$ gelten, aber du kannst folgern, dass $\begin{eqnarray} \lambda_z \neq 0 \end{eqnarray}$ gelten muss, denn wäre es gleich 0, wären wegen der Linearen Unabhängigkeit von x und y auch die anderen beiden gleich 0.
27.02.2012, 14:07	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
den letzen teil verstehe ich nicht so ganz. Meinst du dies hier? $\begin{eqnarray} \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ , wobei die menge der beiden standartbasis-vektoren lin. unabhängig sind , aber die menge wie oben beschrieben lin. abhängig. Man kann den Nullvektor dann auf mehrere arten erzeugen, a ) lambda 1 = 2 , lambda 2 = 2 , lambda 3 = -1 b) vielfache in variation mit vorzeichenwechseln?
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27.02.2012, 14:20	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine folgendes: Seien x und y linear unabhängige Vektoren und {x,y,z} linear abhängig. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \exists \lambda_x, \lambda_y, \lambda_z \end{eqnarray}$ , nicht alle = 0, sodass $\begin{eqnarray} \lambda_x x + \lambda_y y + \lambda_z z = 0 \end{eqnarray}$ Das heißt, es gibt ein Skalar von den dreien, das ungleich 0 ist. Nun muss aber zwangsläufig $\begin{eqnarray} \lambda_z \end{eqnarray}$ ungleich 0 sein. Wäre es gleich 0, so stünde bei der Linearkombination lediglich: $\begin{eqnarray} \lambda_x x + \lambda_y y = 0 \end{eqnarray}$ Da x und y linear unabhängig sind, würde daraus folgen, dass die anderen beiden Skalare auch gleich 0 sein müssten, nach Voraussetzung. In deinem vorletzten Beitrag hattest du einen falschen Schluss gemacht. Du hast gesagt: Da $\begin{eqnarray} \lambda_x = \lambda_y = 0 \end{eqnarray}$ , folgt $\begin{eqnarray} \lambda_z \neq 0 \end{eqnarray}$ . Richtig ist aber: Da $\begin{eqnarray} \{ x,y \} \end{eqnarray}$ linear unabhängig, folgt $\begin{eqnarray} \lambda_z \neq 0 \end{eqnarray}$ . Lineare Unabhängigkeit bedeutet nämlich nicht, dass die Skalare alle 0 sind. Sondern, dass dies die einzige Möglichkeit ist, die 0 zu erzeugen. Lineare Unabhängigkeit ist also eine Implikation: x und y heißen linear unabhängig $\begin{eqnarray} : \Leftrightarrow (\lambda_x x + \lambda_y y = 0 \Rightarrow \lambda_x = \lambda_y = 0) \end{eqnarray}$ Du kannst also nur folgern, dass die Skalare 0 sind, wenn du nur die Linearkombination der 0 von x und y betrachtest. In deinem Beitrag hast du aber die Linearkombination von x, y und z der Null betrachtet und diese Menge ist eben nicht linear unabhängig, also kannst du nicht verwenden, dass $\begin{eqnarray} \lambda_x = \lambda_y = 0 \end{eqnarray}$ gelten muss. Du hattest die Lösung ja eigentlich schon da stehen, nur dieser kleine Schluss war noch falsch. Ich hoffe, es war verständlich. Wenn nicht, meld dich noch mal.
27.02.2012, 14:52	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
ne passt schon, danke ! fühle mich halt noch recht unsicher, daher möchte ich gerne noch eine zweite Aufgabe besprechen. Die Aufgabe ein wenig abgeändert: Wenn x,y linear unabhägig sind und x,y,z linear abhängig sin, dann liegt x in der linearen Hülle von y,z Falsch! x,y linear unabhängig, d.h. es gibt nur die triviale Darstellung des Nullvektors => $\begin{eqnarray} \lambda_x = \lambda_y = 0 \end{eqnarray}$ x,y,z sind linear abhängig, d.h.es gibt eine nicht triviale Darstellung des Nullvektors => $\begin{eqnarray} \exists \lambda_i \neq 0 , i \in \left[x,y,z\right] \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \lambda_x \neq 0 \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} 0 = \lambda_x \cdot x +\lambda_y \cdot y +\lambda_z \cdot z \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \lambda_x x + \lambda_y y + \lambda_z z = 0 \Leftrightarrow \lambda_z z + \lambda_y y = -\lambda_x x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow -\frac{\lambda_z}{\lambda_x} z -\frac{\lambda_y}{\lambda_x} y = x \end{eqnarray}$ . WIEDERSPRUCH zur Annahme, da $\begin{eqnarray} \lambda_x = 0 \end{eqnarray}$ bisscehn komicsh oder nicht?
27.02.2012, 14:58	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt eben nicht, welches Skalar ungleich 0 ist, woher willst du wissen, dass es $\begin{eqnarray} \lambda_x \end{eqnarray}$ ist? Die Aussage ist falsch, das stimmt. Allerdings kannst du bei falschen Aussagen auch einfach ein Gegenbeispiel angeben.
27.02.2012, 15:14	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
okay dann wirds einfach vielen dank!

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