Injektivität/ Bildmenge

27.02.2012, 12:47

Gast11022013

Injektivität/ Bildmenge

Meine Frage:
Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} f: A\to B~\text{injektiv}~\Leftrightarrow f(E\cap F)=f(E)\cap f(F)~\forall E, F\subseteq A \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo! Ich hab mich mal dran versucht.

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":

Angenommen, f ist nicht injektiv. Dann gibt es $\begin{eqnarray*} a,\tilde a\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a)=f(\tilde a), a\neq\tilde a \end{eqnarray*}$ .

Betrachte

$\begin{eqnarray*} E:=\left\{a\right\}, F:=\left\{\tilde a\right\} \end{eqnarray*}$

(Die Identität gilt ja nach Voraussetzung für alle Teilmengen von A.)

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f(E\cap F)=f(\emptyset)=\left\{f(x)~|~x\in\emptyset\right\}=\emptyset \end{eqnarray*}$

Und andererseits:

$\begin{eqnarray*} f(E)\cap f(F)=\left\{f(x)~|~x\in E\right\}\cap\left\{f(y)~|~y\in F\right\}=\left\{f(a)\right\}\cap\left\{f(\tilde a)\right\}\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f(a)=f(\tilde a) \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} f(E\cap F)\neq f(E)\cap f(E) \end{eqnarray*}$ . Widerspruch

Die Hin-Richtung bekomme ich leider gerade nicht so gut hin. Aber den Ansatz schreibe ich trotzdem mal auf.

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":

f sei injektiv.

Zeige beide Inklusionen.

" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ":

$\begin{eqnarray*} E\cap F\subseteq E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E\cap F\subseteq F \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(E\cap F)\subseteq f(E) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(E\cap F)\subseteq f(F) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(E\cap F)\subseteq f(E)\cap f(F) \end{eqnarray*}$

" $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} x\in f(E)\cap f(F) \end{eqnarray*}$ , also gilt $\begin{eqnarray*} x\in f(E), x\in f(F) \end{eqnarray*}$ .

Das heißt es gibt ein $\begin{eqnarray*} y\in E \end{eqnarray*}$ , sodaß $\begin{eqnarray*} x=f(y) \end{eqnarray*}$ und es gibt ein $\begin{eqnarray*} z\in F \end{eqnarray*}$ , sodaß $\begin{eqnarray*} x=f(z) \end{eqnarray*}$ .

Das heißt $\begin{eqnarray*} x=f(y)=f(z)\Rightarrow y=z \end{eqnarray*}$ aufgrund der Injektivität.

Weiter komme ich an dieser Stelle nicht.

Kann mir jemand einen Anstoß geben, wie es weitergehen könnte?
(Und das Bisherige kontrollieren?)

Danke für jede Mühe!

15.03.2012, 12:03

Gast11022013

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Bisher hat mir leider niemand geantwortet.

Also ich bleibe bei dem, wie ich oben " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " bewiesen habe.

Bei " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " würde ich mich jedoch gerne korrigieren.

Braucht man denn da überhaupt, daß f injektiv ist?

Ich würde einfach meinen:

$\begin{eqnarray*} f(E\cap F)=\left\{f(x)~|~x\in E\wedge x\in F\right\}=\left\{f(x)~|~x\in E\right\}\cap\left\{f(x)~|~x\in F\right\}=f(E)\cap f(F) \end{eqnarray*}$ .

15.03.2012, 13:40

juffo-wup

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RE: Injektivität/ Bildmenge

Zitat:

Original von Dennis2010
Das heißt $\begin{eqnarray*} x=f(y)=f(z)\Rightarrow y=z \end{eqnarray*}$ aufgrund der Injektivität.

Weiter komme ich an dieser Stelle nicht.

Du bist hier eigentlich schon fertig. Es ist doch nun per Definition $\begin{eqnarray*} x\in f(E\cap F) \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} y=z\in E\cap F \end{eqnarray*}$

Das andere ist auch richtig.
Dass man braucht, dass f injektiv ist, hast du anhand des Beispiels in " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " selbst gezeigt.
Wenn du speziell für das Beispiel deine Gleichungskette

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(E\cap F)=\left\{f(x)~|~x\in E\wedge x\in F\right\}=\left\{f(x)~|~x\in E\right\}\cap\left\{f(x)~|~x\in F\right\}=f(E)\cap f(F) \end{eqnarray*}$ .

mitverfolgst, wirst du sehen (bzw. hast du eigentlich schon), an welcher Stelle es i.a. nicht funktioniert.

Allgemein ist der "Urbildoperator" $\begin{eqnarray*} f^{-1}(..) \end{eqnarray*}$ vertauschbar mit Vereinigungen, Schnitten, Komplementen von Mengen, der "Bildoperator" $\begin{eqnarray*} f(..) \end{eqnarray*}$ nur mit Vereinigungen, und nur dann auch mit Schnitten und Komplementen, wenn die Funktion injektiv ist.

15.03.2012, 13:57

Gast11022013

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Dankeschön, dann lag ich ja doch schon anfangs richtig.

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