(Un)Vollständigkeit der natürlichen Zahlen

27.02.2012, 13:43

funki2

(Un)Vollständigkeit der natürlichen Zahlen

Hallo Freunde,

eine ganz einfache Frage: Warum sind die natürlichen Zahlen nicht vollständig?
Meiner Meinung nach konvergieren alle Cauchy Folgen in N, z.B. 1,2,1,2,1,1,1,1...
Zwar ist meine Auswahl an Cauchy Folgen ziemlich unspektakulär (alle Folgen, die ab einem gewissen n konstant sind) allerdings geht es ja nur um diese Folgen.

Wo ist mein Fehler?

27.02.2012, 16:08

giu

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Hi funki2

Ich denke die einfachste Antwort auf Deine Frage ist, grob gesagt, dass die Unvollständigkeit der natürlichen Zahlen eigentlich nichts mit konvergierenden Cauchy-Folgen als solche zu tun hat.

Stattdessen hat es damit zu tun, dass man festgestellt, dass es in den natürlichen Zahlen keine Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} b + k = a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b > a \end{eqnarray*}$ . Somit hat man die natürlichen Zahlen um die Menge der ganzen Zahlen erweitert.

In etwa die gleiche Richtung geht das Argument, das begründet warum die Menge der rationalen Zahlen nicht vollständig ist. Man findet nämlich eine Folge rationaler Zahlen die nicht einen rationalen, sondern einen irrationalen Grenzwert besitzt und deshalb in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Man hat wieder eine Zahl entdeckt, die nicht Teil der Menge ist, auf welcher wir operieren.

Dies ist nur eine grobe Antwort meinerseits. Evtl. können Dir andere Benutzer dieses Forums eine genauere Antwort auf Deine Frage geben.

Hoffe meine Antwort hilft Dir trotzdem smile

27.02.2012, 16:49

IfindU

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Wie kommst du denn darauf, dass die natürlichen Zahlen unvollständigen sind? Denn deine Argumentation ist richtig, die natürlichen Zahlen sind vollständig - wenigstens bezüglich der Standardmetrik. Auch wenn das ein wenig unspektakulär in einem diskreten Raum ist, da alle Cauchy-Folgen irgendwann konstant sein müssen, und damit der Grenzwert automatisch existiert.

27.02.2012, 16:59

funki2

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Danke. Das ist glaube ich eine gute Idee, aber das reicht irgendwie noch nicht. Der Unterschied ist nämlich, dass meine Cauchyfolge ganz in Q liegt, allerdings ihr Grenzwert nicht, also die Folge nicht gegen ein Element aus Q konvergiert. Dementgegen spricht
dass alle meine Cauchyfolgen, die in N liegen auch in N konvergieren.

Also ist das Argument noch nicht schlüssig. Aber es hat mir schonmal einen guten Gedanken Anstoß gegeben. Danke.

Bis dann

Edit: hab den zweiten Eintrag eben erst gesehen. Also sind die natürlichen Zahlen doch vollständig? Das wäre ja krass, dann würde der Bairesche Satz völlig auseinander fallen.

Also: Wenn du mir sagst, dass die Natrülichen Zahlen mit der Betrags-Norm vollständig sind, ergeben sich große Probleme für Baire, die ich dann gernen erläutere.

Edit2: Ach, dann mache ich das jetzt gleich: Baire besagt: X sei ein vollstndiger metrischer Raum. Wenn ich ihn aus der Vereinigung von abzählbar vielen, abgeschlossenen Teilmengen "baue" hat (laut Satz) mindestens eine der Mengen ein nicht leeres Inneres.

Sei also N mein X. Dann kann ich ihn aber doch aus abzählbar vielen Mengen, die kein Inneres haben aufbauen: {1} vereinigt mit {2} vereinigt mit {3} usw.
Widerspruch!

Wie ist das möglich?

27.02.2012, 17:04

speedyschmidt

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Zitat:

Original von IfindU
Auch wenn das ein wenig unspektakulär in einem diskreten Raum ist, da alle Cauchy-Folgen irgendwann konstant sein müssen, und damit der Grenzwert automatisch existiert.

$\begin{eqnarray*} \{1/n: n\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ ist auch diskret und mit der Standardmetrik nicht vollständig.

27.02.2012, 17:12

René Gruber

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Das Zitat von IfindU bezieht sich klar auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ +Standardmetrik. Das von dir nun angebrachte Beispiel hat damit nichts zu tun. unglücklich

27.02.2012, 17:13

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von funki2
Edit2: Ach, dann mache ich das jetzt gleich: Baire besagt: X sei ein vollstndiger metrischer Raum. Wenn ich ihn aus der Vereinigung von abzählbar vielen, abgeschlossenen Teilmengen "baue" hat (laut Satz) mindestens eine der Mengen ein nicht leeres Inneres.

Sei also N mein X. Dann kann ich ihn aber doch aus abzählbar vielen Mengen, die kein Inneres haben aufbauen: {1} vereinigt mit {2} vereinigt mit {3} usw.
Widerspruch!

Wie ist das möglich?

Wie kommst du darauf, dass {1} leeres Inneres hat?

27.02.2012, 17:13

speedyschmidt

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Sicher? Ich lese das so, dass die Diskretheit die Begründung sein soll.

edit: in jedem fall: sry fürs klugscheißen, ist mir nur aufgefallen.

27.02.2012, 17:17

René Gruber

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In $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit euklidischer Metrik und alle $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon<1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} d(x,y) < \varepsilon \;\Longrightarrow\; x=y \end{eqnarray*}$

Das trifft bei deiner diskreten Beispielmenge nicht zu - was entscheidend ist.

27.02.2012, 17:19

speedyschmidt

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Ja, schon klar, aber ifindu gibt die Diskretheit als Begründung.

Schwamm drüber smile

27.02.2012, 17:20

IfindU

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Sorry, das Gegenbeispiel hatte ich nicht bedacht. Also klar, Diskretheit reicht allgemein nicht aus, um vollständig zu sein.

27.02.2012, 17:45

René Gruber

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Ah ja, ich hatte wohl (unterbewusst) "in diesem diskreten Raum" statt "in einem diskreten Raum" gelesen. Augenzwinkern