Grenzwert mit de l'Hospital

18.01.2007, 17:46

Orang-Utan-Klaus

Grenzwert mit de l'Hospital

Hallo,

wer kann mir helfen, folgenden Grenzwert zu berechnen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x ((1+\frac{1}{x})^{x}-e) \end{eqnarray*}$

Ist es günstiger $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Zähler zu lassen oder als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ in den Nenner zu schreiben?

Vielen Dank für eure Hilfe!

18.01.2007, 19:02

kiste

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Wenn du unbedingt l'Hospital benutzen willst ist es natürlich günstiger es in den Nenner zu schreiben da du dann die Form 0/0 hast

18.01.2007, 19:05

Sunwater

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wenn du es als 1/x in den Nenner schreibst, kommst du nach einmal L'Hospital drauf...

18.01.2007, 21:34

Orang-Utan-Klaus

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Ok, ich habs endlich raus.

Musste allerdings zweimal die "Regel vom Krankenhaus" anwenden.

Deshalb würde mich interessieren, wie du schon nach einmaliger Anwendung von l'Hospital draufgekommen bist.

18.01.2007, 21:51

Sunwater

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habs so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x - e}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x-1} \left( -\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} x \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x-1} = \infty \cdot e = \infty \end{eqnarray*}$

hoffe das stimmt so?!...

18.01.2007, 21:59

pseudo-nym

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Du hast aber hoffentlich nicht eine Exponentialfunktion nach den Regeln für Potenzfunktionen abgeleitet? geschockt

Also ich würde das so machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x \left(\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x -e \right) = \lim_{x \to \infty} x \left( e^{x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)} -e \right) = \lim_{x \to \infty} x \left( e^{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} -e \right) = \infty ( e^0 - e ) = \infty \end{eqnarray*}$

18.01.2007, 22:25

Sunwater

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ohje ist das spät heute... unglücklich

sorry

18.01.2007, 23:50

Orang-Utan-Klaus

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Beides falsch! Augenzwinkern

Für die "obere" Ableitung gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} ((1+\frac{1}{x})^x-e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{d}{dx} exp(x\cdot ln(1+ \frac{1}{x} )) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (1+\frac{1}{x} )^x\cdot (ln(1+\frac{1}{x} )- \frac{1}{x+1} ) \end{eqnarray*}$

Nach nochmaliger Anwendung von Hospital und einigen Umformungen erhält man für den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x ((1+\frac{1}{x} )^x - e)= - \frac{e}{2} \end{eqnarray*}$

19.01.2007, 16:28

vektorraum

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@Orang-Utan-Klaus:

Dein Ergebnis ist richtig!

@sunwater: Dein Lösungsweg ist falsch. Du kannst doch nicht das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach nach der Potenzregel mit ableiten verwirrt

Das machst du ja bei einem Ausdruck der Form

$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$

auch nicht...

19.01.2007, 18:17

Marcyman

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Ich glaube das hat sunwater schon oben eingesehen. Ein subtilerer Fehler in der Rechnung ist die Ausnutzung der Rechenregeln für Grenzwerte im vorletzten Schritt, ebenso bei pseudo-nym. Die entsprechenden Sätze gelten nur für konvergente Folgen.

19.01.2007, 21:49

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von pseudo-nym
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x \left( e^{x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)} -e \right) = \lim_{x \to \infty} x \left( e^{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} -e \right) \end{eqnarray*}$

Was hast du denn hier gemacht? verwirrt

Gruß MSS

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