Brauche Hilfe zu komplexen Zahlen

27.02.2012, 15:16

Gilbert0

Brauche Hilfe zu komplexen Zahlen

Folgende komplexe Zahl ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{2}{\sqrt{3}+i } \end{eqnarray*}$

Man soll alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ bestimmen, für die $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ reell ist.

Nachdem ich die komplexe Zahl in die Polarkoordinatenform gebracht habe, komme ich auf $\begin{eqnarray*} z = e^{i\frac{5}{6} \pi } \end{eqnarray*}$ , was laut Lösung richtig ist.

Nun muss ja das Argument der Zahl $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sein, damit der Imaginärteil verschwindet.

Also muss gelten, dass $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6} \pi n = \pi k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . So komme ich auf $\begin{eqnarray*} n = \frac{6}{5} k \end{eqnarray*}$ .

In der Lösung wurde aber mit $\begin{eqnarray*} z = e^{i(-\frac{1}{6}\pi) } \end{eqnarray*}$ gerechnet, was ja aber offensichtlich die selbe komplexe Zahl ist, aber sie kamen auf die Lösung $\begin{eqnarray*} n=6k \end{eqnarray*}$ . Was für einen Denkfehler mache ich?

27.02.2012, 15:36

klarsoweit

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RE: Brauche Hilfe zu komplexen Zahlen!

Zitat:

Original von Gilbert0
Nachdem ich die komplexe Zahl in die Polarkoordinatenform gebracht habe, komme ich auf $\begin{eqnarray*} z = e^{i\frac{5}{6} \pi } \end{eqnarray*}$ , was laut Lösung richtig ist.

Also irgendwas stimmt hier nicht. Es ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{5}{6} \pi } \neq e^{i(-\frac 1 6 \pi)} = \frac 1 2 \sqrt 3 - \frac 1 2 i = z \end{eqnarray*}$ .

27.02.2012, 15:39

klauss

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RE: Brauche Hilfe zu komplexen Zahlen!
Vermutlich machst Du keinen Denkfehler. Du gehst (korrekterweise) gegen den Uhrzeigersinn um den Einheitskreis, die Lösung offenbar im Uhrzeigersinn. Insofern würde ich Deine Lösung bevorzugen, da hier der Hauptwert des Arguments beachtet wurde.

P.S.:
Es stimmt natürlich, dass
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{-1}{6}\pi i} =e^{\frac{11}{6} \pi i} \end{eqnarray*}$

27.02.2012, 15:56

Gilbert0

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Gut, meinen Fehler und den der Lösung habe ich mittlwerweile entdeckt. Aber eine Frage noch: Hätten wir mit $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{11}{6}\pi} \end{eqnarray*}$ gerechnet, würde man auf eine andere Lösung kommen, oder?

27.02.2012, 19:00

Gilbert0

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Leider konnte ich die Frage immer noch nicht klären unglücklich

28.02.2012, 09:28

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Gilbert0
Aber eine Frage noch: Hätten wir mit $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{11}{6}\pi} \end{eqnarray*}$ gerechnet, würde man auf eine andere Lösung kommen, oder?

Nein.
Sogar mit Deinem 'falschen' $\begin{eqnarray*} z=e^{i\frac 56 \pi} \end{eqnarray*}$ wärst Du auf die richtige Lösung gekommen.

Ausschlaggebend dafür, dass der Imaginärteil verschwindet ist doch nur der Nenner des Bruchs im Exponenten.

Ist also $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ reell. Ganz gleich ob Du nun $\begin{eqnarray*} z=e^{i\frac 56 \pi}\text{ oder }z=e^{i\frac {11}6 \pi} \end{eqnarray*}$ betrachtest.

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