Uneigentliche Integrale

27.02.2012, 16:02

XHotSniperX

Uneigentliche Integrale

Meine Frage:
Huuhu Leute :p

Habe eine Aufgabe, die ich zwar mit eigener Intepretation und sehr viel gutem Willen gelöst habe aber nicht weiss, ob das stimmt haha.

Frage:

Für welche Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist jeweils der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \int_1^x \! \frac{dt}{t^{\alpha } } < \infty \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
ich hab einfach mal integriert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \left[\frac{t^{1-\alpha } }{1-\alpha } \right]_{1}^{x} = \lim_{x \to \infty } \left(\frac{x^{1-\alpha } }{1-\alpha } -\frac{1}{1-\alpha } \right) <\infty \end{eqnarray*}$

betrachte man vor allem den Teil mit $\begin{eqnarray*} x^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$

kann man folgern: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall \alpha \geq 1 \end{eqnarray*}$

wobei der Wendepunkt, dass es nicht unendlich ist bei $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ liegt.

Was alles stimmt da nicht?

Vielen Dank für eure Hilfe =D

27.02.2012, 16:26

René Gruber

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Zitat:

Original von XHotSniperX
Was alles stimmt da nicht?

In erster Linie, dass du im Sonderfall $\begin{eqnarray*} \alpha=1 \end{eqnarray*}$ mit einer anderen Stammfunktion rechnen musst.

27.02.2012, 16:43

XHotSniperX

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Wie meinst du das? Muss ich eine andere Stammfunktion nehmen und damit vergleichen oder wie?

27.02.2012, 16:51

René Gruber

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Ich meine, wie ich es sage: Im Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha} = \frac{t^0}{0} \end{eqnarray*}$ gewiss keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t^\alpha} = \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ .

27.02.2012, 17:13

XHotSniperX

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und mit welcher stammfunktion soll ich den fall rechnen?

aber man sieht doch, dass es mit alpha = 0 das ganze einfach 0 gibt, weil die zähler sich ja auflösen. ist doch egal ob durch 0 geteilt oder nicht LOL Hammer

27.02.2012, 17:35

Gilbert0

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Setze alpha = 1 oben im Integral ein, dann wirst du es sicherlich sehen, was die Stammfunktion für den Fall ist smile

27.02.2012, 17:43

Leopold

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Zitat:

Original von XHotSniperX
aber man sieht doch, dass es mit alpha = 0 das ganze einfach 0 gibt, weil die zähler sich ja auflösen

(Du meinst wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ .)

Schön ausgedacht, aber leider nicht richtig. "Undefiniert minus Undefiniert" gibt nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , sondern "Katastrophe". Und auch anschaulich stimmt es nicht. Wie soll der Flächeninhalt unter dem Graphen von $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ Null sein?

27.02.2012, 17:57

XHotSniperX

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ja ln(t) also:

ln(unendlich) - ln(1) und das gibt dann also unendlich?

also gehört alpha = 1 nicht dazu? das war mein fehler oder?

27.02.2012, 18:01

René Gruber

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Zitat:

Original von XHotSniperX
ln(unendlich) - ln(1) und das gibt dann also unendlich?

also gehört alpha = 1 nicht dazu?

In der Sache richtig, aber mistig aufgeschrieben. Im anderen Fall oben konntest du es doch auch, also warum nicht auch hier?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \int_1^x \frac{\dd t}{t} = \lim_{x \to \infty } \ln(x) = \infty \end{eqnarray*}$

27.02.2012, 18:07

XHotSniperX

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hehe ja ich finde den formeleditor immer so aufwendig xD

ich danke euch jetzt hab ich die aufgabe richtig smile

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