Surjektivität/ Abbildung

27.02.2012, 17:04	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität/ Abbildung Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f\colon A\to B \end{eqnarray}$ eine Abbildung. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} f(f^{-1}(F))=F~\forall~F\subseteq B\Leftrightarrow f~\text{surjektiv} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hallo, im Moment bin ich im Mengenlehre-Fieber und auch zu dieser Aufgabe habe ich wieder einen Beweis gemacht, von dem ich gerne wüsste, ob er so in Ordnung ist. Beweis: " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ": Angenommen, f sei nicht surjektiv. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} b\in B: \nexists a\in A: f(a)=b \end{eqnarray}$ . Wähle $\begin{eqnarray} F:=\left\{b\right\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f(f^{-1}(F))=f(f^{-1}(\left\{b\right\}))=\left\{f(x)~\|~x\in f^{-1}(\left\{b\right\})\right\}=\left\{f(x)~\|~x\in\left\{a\in A~\|~f(a)\in f(\left\{b\right\})\right\}\right\} \end{eqnarray}$ Dies ist die leere Menge, denn es gibt keine $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ deren Bild in der Menge liegt, die nur $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ enthält. Damit hat man $\begin{eqnarray} \emptyset\neq \left\{b\right\} \end{eqnarray}$ , also einen Widerspruch zur Voraussetzung, daß die Identität für alle Teilmengen von B gültig ist. " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ ": Es sei f surjektiv. Zeigen beide Inklusionen. " $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ ": Sei $\begin{eqnarray} q\in f(f^{-1}(F))=\left\{f(x)~\|~x\in\left\{a\in A~\|~f(a)\in F\right\}\right\} \end{eqnarray}$ . Das heißt in Worten: q ist das Bild eines Elements in $\begin{eqnarray} f^{-1}(F) \end{eqnarray}$ , also eines Elements, dessen Bild in F liegt. Dann ist q natürlich in F. Etwas formaler: $\begin{eqnarray} q=f(w) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} w\in f^{-1}(F) \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} f(w)\in F \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} q=f(w)\in F \end{eqnarray}$ . (Hier braucht man die Surjektivität nicht, denn diese Inklusion gilt auch für eine Abbildung, die nicht surjektiv ist.) " $\begin{eqnarray} \supseteq \end{eqnarray}$ ": Sei $\begin{eqnarray} q\in F \end{eqnarray}$ . Da f surjektiv ist, existiert ein $\begin{eqnarray} d\in A: f(d)=q\in F \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, daß $\begin{eqnarray} d\in f^{-1}(F)=\left\{a\in A~\|~f(a)\in F\right\} \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, daß $\begin{eqnarray} f(d)\in\left\{f(w)~\|~w\in f^{-1}(F)\right\}=f(f^{-1}(F)) \end{eqnarray}$ und deswegen $\begin{eqnarray} q=f(d)\in f(f^{-1}(F)) \end{eqnarray}$ . Beweis Ende

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