bestimmen sie ob U ein Unterraum ist...

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martinio Auf diesen Beitrag antworten »
bestimmen sie ob U ein Unterraum ist...
Aufgabe: Bestimmen sie ob U ein Unterraum des ist:
U besteht aus den Vektoren des

(i)
Wie fängt man dort am besten an? Ich habe ja eigentlich nur die Axiome nachzuweisen. Wie die gesuchten Vekotren aussehen und welche Form sie haben müssen ist mir auch bewusst.
Mein Verstand sagt mir, dass dies kein Unterraum sein kann, da eine Multiplikation mit einem Skalar , kann auch einen negativen Vekotor erzeugen, der nicht mehr in der Menge liegt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Verstand hat recht. Der Nullvektor ist auch nicht drin, also auch keine inversen Vektoren. Die Menge ist ein "Halbraum", aber kein Vektorraum, also kein UVR .
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

hallo elvis und danke für die schnelle antwort!
stimmt der Nullvekotor ist auch nicht enthalten, genauso wenig wie inverese Vektoren, die ich durch die Multiplikation des jeweiligen Vektores mit (-1) bekommen sollte.

Wäre es notwendig hier noch in einen formalen Beweis abzurutschen? Meines Wissens reicht ein gegenbeispiel, was sich ja schnell konstruieren lässt (s.o.).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Noch formaler geht's nicht. Dein Beweis ist schlüssig, nachvollziehbar und richtig.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

Freude top ! danke !

(ii) sucht einen untervektorraum, deseen vektoren die form beachten. Dies kann ja wenn nur der triviale Untervektorraum sein, der den Nullvektor enthält sein oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Noch mal kurz nachdenken !
 
 
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

kein Uvektorraum, denn nach vorraussetzung darf ich für "alles" / jedes Element aus einsetzen, also z.B auch -3 , was dann aber nicht < 0 wäre.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

edit: für x_1 darf ich nur den Wert 0 einsetzen. für x_2 , x_3 alles. Jetzt muss ich untersuchen, ob dies ein Untervektorraum ist.

Edit II: Daher ist es ein Untervektorraum des , da sich die x_1 Koordinate konstant auf 0 bleibt. x2 und x3 sind veränderlich - allerdings abgeschlossen bzgl. der addition und der skalaren multiplikatiom ,ebenso ist der Nullvektor darstellbar. => Ist ein Untervektorraum
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist notwendig, weil sonst wieder nicht der Nullvektor enthalten wäre. Es gibt Untervektorräume des mit . Deren Dimension muss 0,1 oder 2 sein.

.
Alle anderen sind Geraden durch 0 in der-Ebene .
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir diesen isomorphismus . nochmal erklären?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der von und aufgespannte Vektorraum hat die Dimension 2, das ist ein zum isomorpher UVR, eine Ebene durch 0 im . In der Schule hieß das Ding y,z-Ebene.
Das ist übrigens der UVR, den du selbst gefunden hattest.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

könnte man auch zwei UVR verknüpfen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, durch Durchschnittsbildung und durch Summenbildung.
. Der Durchschnitt von 2 UVRen ist immer ein UVR.
. Die Vereinigung von 2 UVRen ist genau dann ein UVR, wenn einer im anderen liegt. Der von der Vereinigung aufgespannte UVR heißt Summe, er heißt direkte Summe, wenn der Durchschnitt 0 ist.
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