Kompliziertes Integral

27.02.2012, 17:40

Burni

Kompliziertes Integral

Meine Frage:
Ich sole die Ableitung folgender Funktion finden:

f:x -----> $\begin{eqnarray*} \int_x^x \! e^{t^4-t^2} \, dx \end{eqnarray*}$

soll von -x bis x gehen aber ging bei der Formel irgendwie nicht

Meine Ideen:
Ich habe absolut keine Idee wie ich an dieses Problem rangehen soll, vielleicht verstehe ich auch die Frage falsch. Aber meines Erachtens nach wäre das ja einfach die Funktion im Integral von -x bis x, da ja die Ableitung des Integrals gleich die Funktion ist, was ich aber nicht verstehe in der Formel kommt t vor die Funktion ist aber f(x). Könnt ihr mir evtl. weiterhelfen?

27.02.2012, 17:45

lgrizu

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RE: Kompliziertes Integral
Zuerst einmal sicher, dass du nach x integrieren sollst und nicht nach t?

Entstehen würde dann eine Funktion von x.

Hast du dieses Integral in der Schule auf bekommen?

Es wird schwer, da eine geschlossene Stammfunktion zu bestimmen (wnn du nach t integrieren sollst, die Integration nach x ist einfach, da dann der Intregant eine Konstante ist), sie existiert nicht.

27.02.2012, 17:45

Mulder

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RE: Kompliziertes Integral

Zitat:

Original von Burni
f:x -----> $\begin{eqnarray*} \int_x^x \! e^{t^4-t^2} \, dx \end{eqnarray*}$

So macht das keinen Sinn. Gemeint ist wohl

$\begin{eqnarray*} f: x \mapsto \int\limits_{-x}^x e^{t^4-t^2 } \, \color{red} \dd t \end{eqnarray*}$

Kompliziert ist das Ganze eigentlich nicht. Man braucht nur den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Integriert wird über t, aber die Grenzen des Integrals sind die Variable x. Ändert man die Integrationsgrenzen, ändert sich auch der Funktionswert f(x).

27.02.2012, 19:58

Burni

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Sorry
klar sollte das dt am Schluss heissen war wohl ein bisschen schnell mit tippen, tut mir leid. Danke für die schnelle Antwort. Mulder könntest du das bitte genauer erläutern, irgendwie hat es bei mir nicht Klick gemacht bin noch recht neu in der Welt der Integralrechnung xD Ich blick nicht durch wie ich die Stammfunktion dieser Funktion bilden kann, auch Wolframalpha spuckt nichts aus.

27.02.2012, 20:16

Mulder

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RE: Sorry

Zitat:

Original von Burni
Ich blick nicht durch wie ich die Stammfunktion dieser Funktion bilden kann, auch Wolframalpha spuckt nichts aus.

Klar spuckt Wolfram nichts aus. Wie Igrizu schon angemerkt hat, kannst du e^(t^4-t^2) so ohne weiteres nicht integrieren, weil diese Funktion überhaupt keine (geschlossen darstellbare) Stammfunktion besitzt. Da kannst du dich auf den Kopf stellen.

Und du brauchst auch überhaupt keine Stammfunktion. Der Hauptsatz liefert dir alles, was du brauchst. Wenn ich dich richtig verstanden habe, warst du in deinem allerersten Beitrag doch schon auf der richtigen Spur.

27.02.2012, 20:19

HAL 9000

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(zu spät)

27.02.2012, 20:30

Burni

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So?
So in etwa ?

$\begin{eqnarray*} \left[e^{t^4-t^2} \right]_{-x}^{x} = e^{x^4-x^2}-e^{x^4-x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Oder hab ich was falsch verstanden?

27.02.2012, 20:37

Mulder

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RE: So?
Nein, so nicht. Du darfst nicht einfach in den Integranden die Grenzen einsetzen. Erst wird integriert, dann die Grenzen eingesetzt und DANN wieder abgeleitet (dann natürlich nach x abgeleitet).

Macht es dich denn auch nicht stutzig, dass da bei dir 0 rauskommt? Der Integrand ist doch überall größer null, dann muss auch das Integral größer null sein.

Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} g(t) = e^{t^4-t^2} \end{eqnarray*}$ können wir nicht geschlossen angeben. Trotzdem gibt es eine Stammfunktion, und die nenne ich jetzt einfach mal $\begin{eqnarray*} G(t) \end{eqnarray*}$ . Wir wissen nicht, wie genau $\begin{eqnarray*} G(t) \end{eqnarray*}$ nun aussieht, aber das ist auch scheißegal, weil wir $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ später ja eh wieder ableiten. Also:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \int\limits_{-x}^x e^{t^4-t^2} \, \dd t= \left [ G(t) \right ]_{-x}^x = G(x)-G(-x) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man f'(x) bestimmen.

27.02.2012, 20:58

Burni

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Oke
Oke das hab ich nun verstanden, sehr logisch hab da ein wenig zu früh mit ableiten gearbeitet. Ich verstehe es aber immer noch nicht (lange Leitung wieder mal xD )
also die Ableitung wäre ja dann:

(G(x) - G(-x))' = g(x) - g(-x) aber wie geht das jetzt weiter wenn ich einfach einsetze erhalte ich wieder dasselbe wie oben. Was ist mein Überlegungsfehler?

27.02.2012, 21:00

Mulder

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RE: Oke
Das G(-x) musst du mit der Kettenregel ableiten (eigentlich auch das G(x), aber da ist die innere Ableitung 1, daher erübrigt es sich in dem Fall).

27.02.2012, 21:07

Burni

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So
So:

(G(x) - G(-x))' = 1*g(x) - (-1*g(-x)) =g(x) + g(-x) =

Oder wie ist des gemeint?

27.02.2012, 21:08

Mulder

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RE: So
Ja, so ist es gemeint.

27.02.2012, 21:15

Burni

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Sicherheit
Nur zur Sicherheit

Das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} g(x) + g(-x) = e^{x^4-x^2} + e^{x^4-x^2} = 2*e^{x^4-x^2} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Geduld hat echt lang gedauert heute bis mein Kopf geschaltet hat.

27.02.2012, 21:17

Mulder

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RE: Sicherheit

Zitat:

Original von Burni
Nur zur Sicherheit

Das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} g(x) + g(-x) = e^{x^4-x^2} + e^{x^4-x^2} = 2*e^{x^4-x^2} \end{eqnarray*}$

Genau.

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