offene Menge

27.02.2012, 23:11

Alex2

offene Menge

Meine Frage:
Ich habe bereits ein Beitrag zu dem Thema verfasst, finde ihn aber nicht mehr. Aber das ich glaube ich nicht so schlimm, weil noch eine Aufgabe dazu kommt. So ist es zumindest auch übersichtlicher.

Also: Ich wollte a) entscheiden, ob $\begin{eqnarray*} M:=\{(a, b) : a² + b² < 5\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ offen ist und b), dass M nicht abgeschlossen ist (Ich weiß, dass ich das mit der Offenheit dann automatisch gezeigt habe, ich will das aber als Übung machen).

Meine Ideen:
Ich habe noch teilweise im Kopf, was eine liebe Helferin mir geschrieben hat.

Sei $\begin{eqnarray*} (x, y)\in M \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} ||(x, y)||=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ist der Abstand zum Ursprung.

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} a² + b² < 5 \iff \sqrt{a² + b²} < \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \epsilon < \sqrt{5}-\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ gilt für alle

$\begin{eqnarray*} (x,y)\in M :\quad \sqrt{x^2+y^2} + \epsilon < \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{5}-\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

27.02.2012, 23:24

IfindU

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RE: offene Menge
Offenheit ist kein Widerspruch zur Abgeschlossenheit - eine Menge kann sowohl offen, als auch abgeschlossen sein!

Was dein erster Schritt in der letzten Zeile sein sollte, damit es klar ist:
$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x^2 +y^2 } + \varepsilon| = ... \end{eqnarray*}$

Ansonsten passt es, außer dass ich das Wurzelziehen für überflüssig halte.

27.02.2012, 23:34

Alex2

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RE: offene Menge
Hallo IfindU,

vielen Dank! Ich verstehe nicht ganz, was du damit meinst "Was dein erster Schritt in der letzten Zeile sein sollte, damit es klar ist:..."

Kannst du das noch etwas genauer erklären?

28.02.2012, 00:23

IfindU

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RE: offene Menge
Ich fürchte ich hab mich gerade selber verdacht. Du hast eine Menge im R^2 gegeben, und willst zeigen, dass diese offen ist. Dafür musst du einen zweidimensionalen Ball von Elementen der Menge nehmen, und zeigen, dass diese in der Menge liegt.

Das Problem, dass du gerade hast, ist dass du nur zeigst, dass $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 < 5 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 \neq 5 \end{eqnarray*}$ ist. Was du eigentlich zeigen willst, ist dass du im R^2 einen Ball findest, so dass alle Elemente in diesem Ball vom Betrag kleiner als 5 sind.

Edit: Kleiner Nachtrag: Technisch gesehen reicht es wegen der Stetigkeit der Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (a,b) \mapsto \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$ das zu zeigen, was du gezeigt hast, allerdings sollte man sich dessen im Klaren sein.

28.02.2012, 02:31

SusiQuad

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RE: offene Menge
Grüsse <- *klick*

28.02.2012, 02:46

SusiQuad

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RE: offene Menge

Zitat:

... ist dass du im R^2 einen Ball findest, so dass alle Elemente in diesem Ball vom Betrag kleiner als 5 sind.

Nö.

Was man zeigen muss ist, dass die vorgelegte Menge $\begin{eqnarray*} M= B_{\sqrt 5}(0/0) \end{eqnarray*}$ nur aus den Bällchen $\begin{eqnarray*} B_\epsilon(x/y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x/y) \in M \end{eqnarray*}$ besteht, sodass dann $\begin{eqnarray*} M = \bigcup_{(x/y) \in M} B_\epsilon(x/y) \end{eqnarray*}$

*hust* wenn man nicht erkennt, dass $\begin{eqnarray*} M= B_{\sqrt 5}(0/0) \end{eqnarray*}$ selber Bällchen ist, also per Def. offen (in der Euklid. Top).

Definiert man 'Stetigkeit' bevor 'Offenheit' auftaucht ?

28.02.2012, 03:01

IfindU

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RE: offene Menge

Zitat:

Original von SusiQuad
Was man zeigen muss ist, dass die vorgelegte Menge $\begin{eqnarray*} M= B_{\sqrt 5}(0/0) \end{eqnarray*}$ nur aus den Bällchen $\begin{eqnarray*} B_\epsilon(x/y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x/y) \in M \end{eqnarray*}$ besteht, sodass dann $\begin{eqnarray*} M = \bigcup_{(x/y) \in M} B_\epsilon(x/y) \end{eqnarray*}$

Dass es epslion mit $\begin{eqnarray*} M \subset \bigcup_{(x/y) \in M} B_\epsilon(x/y) \end{eqnarray*}$ gibt, ist klar (jedes epsilon > 0 sollte es erfüllen). Die Rückrichtung ist äquivalent dazu, dass jedes (x,y) in M eine "offene Kugel" besitzt, die noch komplett in M liegt.

Desweiteren sehe ich nicht wieso die M per Definition offen sein sollte, wo man doch zeigen kann, dass sie offen ist. Wenn man das gezeigt hast, macht es auch Sinn von der offenen Kugel zu sprechen. Die Aufgabe "Zeige, dass M offen" mit "M ist per Def. offen, weil Bällchen" abzuspeißen ist sehr offensichtlich nicht der Sinn der Übung.

Und die Stetigkeit habe ich nur angesprochen, weil der Weg von Alex2 so aussah, auf der reellen Achse um a^2 + b^2 einen Ball zu finden, der die 5 nicht enthält, und damit die Offenheit zu zeigen.

28.02.2012, 03:08

SusiQuad

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RE: offene Menge
Ergänzung:
Teil 1

Und wenn die Gleichung $\begin{eqnarray*} M = \bigcup_{(x/y) \in M} B_\epsilon(x/y) \end{eqnarray*}$ nicht klar ist...

Wenn man für jedes $\begin{eqnarray*} (x/y) \in M \end{eqnarray*}$ ein

$\begin{eqnarray*} B_\epsilon(x/y) \subseteq M \end{eqnarray*}$ findet, dann ist $\begin{eqnarray*} \bigcup B_\epsilon(x/y) \subseteq \bigcup M = M \end{eqnarray*}$

Andererseits ist $\begin{eqnarray*} (x/y) \in B_\epsilon(x/y) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \bigcup \left\{(x/y)\right\} = M \subseteq \bigcup B_{\epsilon} {(x/y)} \end{eqnarray*}$

Beide Inklusionen ergeben =

Teil 2

Zitat:

jedes epsilon > 0... (PLUS ) Die Rückrichtung ...

Es sind stets diegleichen $\begin{eqnarray*} B_\epsilon(x/y) \end{eqnarray*}$ und bitte beachte, dass dieses
$\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ deshalb von der Lage der $\begin{eqnarray*} (x/y) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abhängt.

28.02.2012, 03:28

SusiQuad

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RE: offene Menge
Da die $\begin{eqnarray*} \binom{x_0}{y_0} \in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \left| \binom{x_0}{y_0} \right| < \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ , sodass stets $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gewährleistet ist.

Beitragskopie

Zitat:

Original von SusiQuad

Ich hatte oben (b) und (c) vertauscht, sry.

Sei also $\begin{eqnarray*} X= \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ unsere Standardebene, versehen mit der Euklidischen Topologie, d.h. der Norm $\begin{eqnarray*} \left|\binom{x}{y} \right| = \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , dann stelle zunächst fest, dass $\begin{eqnarray*} \left|\binom{x}{y} \right|~=~1 \end{eqnarray*}$ ein Kreis um 0 mit Radius 1 darstellt und keine Ebene oder so.

Entsprechend ist $\begin{eqnarray*} M= \lbrace \binom{x}{y} \in \mathbb{R}^2 ~:~ \left| \binom{x}{y} \right| < \sqrt{5} \rbrace = B_{\sqrt{5}}(0,0) \end{eqnarray*}$ d.h. ein Kreis um Null mit Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle machst Du eine Skizze, d.h. zeichnest diesen Kreis M.
Nun lässt Du Deinen Stift zufällig in den Kreis fallen, d.h. Du hast jetzt irgendeinen Punkt $\begin{eqnarray*} \binom{x_0}{y_0} \end{eqnarray*}$ darin.
Das Bällchen $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} \binom{x_0}{y_0} \end{eqnarray*}$ muss ganz in $\begin{eqnarray*} M~=~B_{\sqrt{5}}(0,0) \end{eqnarray*}$ sein. Zeichne deshalb vom Nullpunkt durch $\begin{eqnarray*} \binom{x_0}{y_0} \end{eqnarray*}$ den Radius bis zum Rand von M.

Du suchst also nur ein geeignetes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , ja?
Dies hängt natürlich von diesem Zufallspunkt $\begin{eqnarray*} \binom{x_0}{y_0} \end{eqnarray*}$ ab.
An der Skizze erkennst Du:
$\begin{eqnarray*} \epsilon = \sqrt{5} - \left| \binom{x_0}{y_0} \right| = \sqrt{5} - \sqrt{{x_0}^2 + {y_0}^2} \end{eqnarray*}$ ist geeignet. Halt das übliche Puzzle-Spiel.

28.02.2012, 03:55

SusiQuad

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RE: offene Menge

Nun spez. zu Dir 'Alex2'

Ich hatte geschrieben $\begin{eqnarray*} \epsilon {\color{red}=} \sqrt{5}-\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ und das hatte einen Grund.
Nehme $\begin{eqnarray*} \binom{x_0}{y_0} = \binom{0}{0} \end{eqnarray*}$ . Der hat die Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ .

Deshalb braucht man dies

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x,y)\in M :\quad \sqrt{x^2+y^2} + \epsilon < \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{5}-\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

nicht mehr überlegen. Aber es ist nicht falsch und zeigt, dass Du in der beschriebenen Konstruktionsskizze mit dem Finger über den Radius gefahren bist.

Wink

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