Verstehe ich Teleskopreihe so richtig?

28.02.2012, 12:21

Tärmineda

Verstehe ich Teleskopreihe so richtig?

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=? \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1} \iff 1=A(k+1)+Bk \iff 0k+1 = (A+B)k+A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A=1 \Rightarrow B=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{1}-0=1 \end{eqnarray*}$

Ist das alles so richtig?

28.02.2012, 12:32

Mulder

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RE: Verstehe ich Teleskopreihe so richtig?
Prinzipiell schon... ich find's nur komisch aufgeschrieben. Für die n-te Partialsumme ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right ) = 1- \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Alle anderen Summanden heben sich ja gegenseitig auf.

Und nun kann man den Grenzwert angeben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right ) = \lim_{n \to \infty} \left ( 1- \frac{1}{n+1} \right ) = 1 \end{eqnarray*}$

28.02.2012, 12:37

Tärmineda

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RE: Verstehe ich Teleskopreihe so richtig?
Achjaaaa Hammer

typisch ich, warum einfach, wenns auch kompliziert geht??

Achos halt, die Partialbruchzerelgung muss ich aber trotzdem machen oder? (Auch wenn man es noch einfacher hätte machen können durch +k-k im zähler und dann trennen)

28.02.2012, 12:39

Mulder

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RE: Verstehe ich Teleskopreihe so richtig?
Natürlich braucht man die Partialbruchzerlegung. Das war alles wohl okay. Bis hierhin:

Zitat:

Original von Tärmineda
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=? \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1} \iff 1=A(k+1)+Bk \iff 0k+1 = (A+B)k+A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A=1 \Rightarrow B=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

ist alles bestens. Nur die letzten zwei Zeilen fand ich etwas komisch aufgeschrieben.

28.02.2012, 12:44

Tärmineda

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RE: Verstehe ich Teleskopreihe so richtig?
Ein großes Dankeschön von mir. Freude

Bei der Aufgabe stand als hinweis dabei "Teleskopreihe". Wenn das nicht dabei gestanden hätte wär ich da aber nie drauf gekommen. Kann man Reihentermen ansehen, wann man das Teleskopheihen"kriterium" benutzt.

Oder kann man auch allgemeins einem Term ansehen, welches Kriterium (Wurzel- Quotienten,...) man am besten benutzen soll, oder funktioneiren immer alle oder schlagen immer alle fehl, wenn eins funktioniert bzw. eins fehltschlägt?

28.02.2012, 12:53

Mulder

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RE: Verstehe ich Teleskopreihe so richtig?

Zitat:

Original von Tärmineda
Bei der Aufgabe stand als hinweis dabei "Teleskopreihe". Wenn das nicht dabei gestanden hätte wär ich da aber nie drauf gekommen. Kann man Reihentermen ansehen, wann man das Teleskopheihen"kriterium" benutzt.

Naja, es bedarf da schon etwas Übung und gutes Auge. Das hier war ein sehr einfacher Fall, hier erkennt man es eigentlich schon sofort (du beim nächsten Mal sicher auch). Bei manchen Reihen ist das aber auch "versteckter". Üben!

Zitat:

Original von Tärmineda
Oder kann man auch allgemeins einem Term ansehen, welches Kriterium (Wurzel- Quotienten,...) man am besten benutzen soll, oder funktioneiren immer alle oder schlagen immer alle fehl, wenn eins funktioniert bzw. eins fehltschlägt?

Hier gilt leider auch wieder: Das ist Erfahrungssache, was man wo gebrauchen kann. Wenn man immer und immer wieder Reihen auf Konvergenz untersucht, entwickelt man da wohl ein Gespür für.

Und nein, es gibt massig Reihen, bei denen das eine Kriterium klappt, das andere jedoch gar nichts. Sonst bräuchte man ja nicht so viele verschiedene Konvergenzkriterien.

Deine obige Reihe zum Beispiel konvergiert ja gegen 1. Aber dass diese Reihe konvergiert, hätte man z.B. mit dem Quotientenkriterium oder dem Wurzelkriterium nicht herausfinden können.

Und solche Beispiele gibt es viele...

28.02.2012, 12:57

Tärmineda

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RE: Verstehe ich Teleskopreihe so richtig?
Eine hoffentlich letzte Frage bevor ich mich noch mal ausgibig bedanke smile

Dass es konvergiert, kann man mit dem Quotientenkriterium oder dem Wurzelkriterium nicht herausfinden. Woran liegt das? Also ist das allgemein bei Termen, bei denen im Zähler eine Konstante ist und im Nenner die natrülichen variablen?

28.02.2012, 13:06

Mulder

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RE: Verstehe ich Teleskopreihe so richtig?
Quotientenkriterium und Wurzelkriterium klappen grundsätzlich nie, wenn bei einer Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} a_i \end{eqnarray*}$

die Folge $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die Form einer gebrochenrationalen Funktion hat. Da wirst du immer auf Grenzwert 1 kommen und dann ist keine Aussage möglich (das steht ja bei der Definition dieser Kriterien dabei). Solltest du dir allgemein ruhig merken. Der Zähler muss dabei gar nicht mal konstant sein. Auch wenn der Zähler nicht konstant ist, klappt es nicht.

28.02.2012, 13:18

Tärmineda

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RE: Verstehe ich Teleskopreihe so richtig?
Das könnte ganz wichtig sein. Vielen Dank! Das alles hilft mir echt weiter. Freude

Schöne Woche noch Wink

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Verstehe ich Teleskopreihe so richtig?

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