Auswahlaxiom

28.02.2012, 12:49

lp-raum

Auswahlaxiom

Ich habe mal gehört - glaube ich - dass das Auswahlaxiom für abzählbar viele Mengen, aus denen jeweils ein Element genommen werden soll, mit Hilfe der ZF-Axiome beweisbar ist. Also dass für eine abzählbare Menge von nichtleeren Mengen $\begin{eqnarray*} X=\{x_1,x_2,..\} \end{eqnarray*}$ eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{N}\to \cup X \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f(n)\in x_n \end{eqnarray*}$

Stimmt das oder habe ich mich verhört? (Ich weiß nicht sehr viel über Mengenlehre.)

28.02.2012, 13:25

lgrizu

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RE: Auswahlaxiom
Das stimmt nicht, man kann ZF mit oder ohne Auswahlaxiom betrachten, das AC ist nicht aus den anderen Axiomen von ZF herleitbar.

Ansonsten wäre es auch überflüssig als Axiom bzw. als Forderung.

28.02.2012, 14:13

lp-raum

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Das Auswahlaxiom gilt ja für beliebige Mengen von Mengen. Ich meinte den Spezialfall, wenn man nur abzählbar viele Mengen in der Menge hat.

28.02.2012, 21:45

pseudo-nym

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RE: Auswahlaxiom

Zitat:

Original von lp-raum
Stimmt das oder habe ich mich verhört?

Zitat:

Original von Wikipedia
Paul Cohen showed that $\begin{eqnarray*} AC_\omega \end{eqnarray*}$ is not provable in Zermelo-Fraenkel set theory without the axiom of choice (ZF).

(Wobei $\begin{eqnarray*} AC_\omega \end{eqnarray*}$ für das Auswahlaxiom für abzählbare Mengen steht.)

29.02.2012, 01:17

lp-raum

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Danke!

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