Auswahlaxiom

28.02.2012, 13:12

Gast11022013

Auswahlaxiom

Meine Frage:
Hallo, ich habe mal eine Frage zum Auswahlaxiom.

Variante 1: Ist $\begin{eqnarray*} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ eine Familie von paarweisen disjunkten, nicht leeren Mengen ( $\begin{eqnarray*} I\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ ), dann gibt es eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(i)\in A_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ .

Variante 2: Sei $\begin{eqnarray*} (A_i)_{i\in I}, I\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ eine Familie nicht leerer Mengen. Dann existiert eine Auswahlfunktion.

Meine Frage ist, wieso man diese beiden Varianten hat, also wieso man im ersten Fall das mit dem "paarweise disjunkt" hat und bei der zweiten Variante nicht.

Kann man aus der ersten Variante zur zweiten kommen (und umgekehrt), schließlich sollen die Varianten ja äquivalent sein?

Meine Ideen:
...

28.02.2012, 21:42

pseudo-nym

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Man kann aus jeder Familie von Mengen $\begin{eqnarray*} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ eine disjunkte Familie $\begin{eqnarray*} (A_i')_{i\in I} \end{eqnarray*}$ machen, indem man $\begin{eqnarray*} A_i' := \{ (a, i) ~|~ \exists a : a \in A_i \} \end{eqnarray*}$ setzt.

29.02.2012, 11:34

Gast11022013

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Eine Mengenfamilie $\begin{eqnarray*} (M_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ "disjunkt machen" bedeutet also, daß man zu der Mengenfamilie $\begin{eqnarray*} (M_i\times\left\{i\right\})_{i\in I} \end{eqnarray*}$ übergeht.

Vielleicht hilft mir ein Beispiel, das zu verstehen.

Ich betrachte eine Mengenfamilie aus nur zwei Mengen:

$\begin{eqnarray*} A_1:=\left\{1,2,7\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2:=\left\{6,7,8,11\right\} \end{eqnarray*}$

Diese beiden Mengen sind nicht disjunkt, denn sie haben das Element 7 gemeinsam.

Diese Mengenfamilie disjunkt machen bedeutet nun:

Mache aus $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} A_1\times\left\{1\right\} \end{eqnarray*}$ , also die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{(1,1),(2,1),(7,1)\right\} \end{eqnarray*}$ und mache aus der Menge $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} A_2\times\left\{2\right\} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \left\{(6,2),(7,2),(8,2),(11,2)\right\} \end{eqnarray*}$ .

Diese beiden neuen Mengen haben keine gemeinsamen Elemente mehr, sind also disjunkt.

Ist das Konzept so gemeint?

Wenn ich also zurück zu meiner Ausgangsfrage komme: Es ist also egal, welche Variante des Auswahlaxioms man sich merkt, weil man von Variante 2 auf Variante 1 zurückkommt, indem man eine Mengenfamilie eben immer disjunkt machen kann.

Wie kommt man aber von Variante 1 nach Variante 2?

29.02.2012, 17:36

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ist das Konzept so gemeint?

Zitat:

Original von Dennis2010
Wenn ich also zurück zu meiner Ausgangsfrage komme: Es ist also egal, welche Variante des Auswahlaxioms man sich merkt, weil man von Variante 2 auf Variante 1 zurückkommt, indem man eine Mengenfamilie eben immer disjunkt machen kann.

Das kommt wohl drauf an, was du erreichen möchtest. Ich merke mir in dem Sinne gar nichts, sondern versuche Dinge wie hier die Äquivalenz der beiden Fourmulierungen zu zeigen. Solange auch nur eine wage Erinnerung an diese Aktion übrig bleibt, kann später wieder nachschauen was ist gemacht habe, oder die Aussage nochmal zeigen.

Zitat:

Original von Dennis2010
Wie kommt man aber von Variante 1 nach Variante 2?

Die obige Konstruktion dient zum Beweis von "Variante 1 impliziert Variante 2". Die umgekehrte Implikation ist trivial.

Am besten ist es wohl du postest beide Beweise, damit ich weiß was dir schon klar ist.

29.02.2012, 17:43

Gast11022013

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Variante 1 war das mit den nicht leeren und disjunkten Mengen, Variante 2 das mit den leeren Mengen.

Die Konstruktion zeigte doch, wie man aus nicht-disjunkten Mengenfamilien disjunkte machen kann, daher dachte ich daß sie zeigt, wie an von Variante 2 nach Variante 1 kommt. verwirrt

29.02.2012, 17:45

pseudo-nym

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Zitat:

Original von pseudo-nym
Am besten ist es wohl du postest beide Beweise, damit ich weiß was dir schon klar ist.

29.02.2012, 17:47

Gast11022013

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Es tut mir leid, wenn ich mich wiederhole, aber ich würde tatsächlich einfach nur sagen:

Variante 1 nach 2:

Die Mengenfamilie beinhaltet insbesondere nicht-leere Mengen.

Variante 2 nach 1: Man kann aus nichtleeren Mengen einer Mengenfamilie immer auch disjunkte Mengen machen.

Aber das ist wohl kein Beweis. verwirrt

01.03.2012, 02:59

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Dennis2010
Die Mengenfamilie beinhaltet insbesondere nicht-leere Mengen.

Von welcher Mengenfamilie redest du?
Dieser Beweis benutzt die Vorraussetzung (nämlich, dass man aus disjunkten Familien auswählen kann) nicht.
Meinen Hinweis benutzt du auch nicht.

Zitat:

Original von Dennis2010
Variante 2 nach 1: Man kann aus nichtleeren Mengen einer Mengenfamilie immer auch disjunkte Mengen machen.

Was hat die Tatsache, dass man eine Familie disjunkt machen kann damit zu tun, dass die einzelnen Mengen nicht leer sind?
Auch hier kann ich nicht erkennen wo die Vorraussetzung benutzt wird.

01.03.2012, 21:45

Gast11022013

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Ich gebe nicht auf. Augenzwinkern

Zu zeigen ist: Variante 1 $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Variante 2

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":

Es sei $\begin{eqnarray*} (M_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ eine Familie von nicht-leeren, paarweise disjunkte Mengen, die Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ sei nicht die leere Menge. Es gebe eine Auswahlfunktion $\begin{eqnarray*} f\colon I\to\bigcup_{i\in I}M_i, f(i)\in M_i \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} (A_i)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ eine Mengenfamilie nicht leerer Mengen. Aus dieser Menge kann man (wie vor längrer Zeit von Dir gezeigt) eine disjunkte Mengenfamilie machen. Für diese gibt es dann nach Voraussetzung eine Auswahlfunktion.

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ eine Familie nicht-leerer Mengen und ex. eine Auswahlfunktion.

Sei $\begin{eqnarray*} (M_i)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ eine Familie nicht-leerer, paarweise disjinkter Mengen.
Dann ist ja diese Mengenfamilie insbesondere nicht-leer. Also existiert eine Auswahlfunktion.

So?

Liebe Grüße

01.03.2012, 23:19

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Dennis2010
Sei $\begin{eqnarray*} (A_i)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ eine Mengenfamilie nicht leerer Mengen. Aus dieser Menge kann man (wie vor längrer Zeit von Dir gezeigt) eine disjunkte Mengenfamilie machen. Für diese gibt es dann nach Voraussetzung eine Auswahlfunktion.

Du bist noch nicht fertig. Du hast festestellt, dass es eine Auswahlfunktion zu $\begin{eqnarray*} (A_i')_{j\in J} \end{eqnarray*}$ (der Familie die aus $\begin{eqnarray*} (A_i)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ durch obiges Verfahren hervorgeht) gibt, aber du sollst die Existenz einer Auswahlfunktion von $\begin{eqnarray*} (A_i)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ zeigen. Dieser Schritt benötigt denke ich das Ersetzungsschema.

Die andere Richtung ist okay.

01.03.2012, 23:25

Gast11022013

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Zitat:

Original von pseudo-nym
Dieser Schritt benötigt denke ich das Ersetzungsschema.

Was meinst Du mit "Ersetzungsschema"?

02.03.2012, 08:52

pseudo-nym

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Das Ersetzungsschema ist ein Axiomenschema von ZF. Im groben, sagt es dass das Bild jeder Funktion unter einer Menge wieder eine Menge ist.

Wir wieder an einem Punkt an dem ein wenig Wissen bzgl. Mengenlehre fast unabdingbar ist.
Kommt diese Aufgabe auch aus deiner Topologievorlesung?

02.03.2012, 11:23

Gast11022013

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Ich kenne zwar einige Axiome des Zermelo-Fraenkel Axiomensystems, aber dieses Axiom kenne ich nicht und es wurde in der Vorlesung auch nicht behandelt.

Es ist so, daß dies sozusagen eine von mir selbst gestellte Aufgabe ist, in der Vorlesung hatten wir nur beide Formulierungen des Auswahlaxioms. Die Äquivalenz haben wir so nicht gezeigt.

Ich war halt nur interessiert, wie diese beiden Varianten zusammenhängen, aber anscheinend übersteigt das mein Wissen.

02.03.2012, 17:13

pseudo-nym

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Ich fürchte ohne ein wenig Logik und Mengenlehre wirst du hier nicht weit kommen.

Der Rest deiner Aufgabe geht übrigens so:

Sei f die Auswahlfunktion der $\begin{eqnarray*} (A_i')_{j\in J} \end{eqnarray*}$ . Da I eine Menge ist und wegem dem Ersetzungsschema, ist f(I) eine Menge und in der Tat eine bijekive Abbildung $\begin{eqnarray*} f(I) : \bigcup_{i \in I} A_i \to I \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f(I)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist die gesuchte Auswahlfunktion.

Den Übergang zur Umkehrfunktion kann man sich sparen, indem man in der Konstruktion der disjunkten Familie, den Index zur ersten statt zur zweiten Komponente des Tupels macht.

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