Restklassenring von Polynomen: Inverse |
| 28.02.2012, 13:31 | tr33burn | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Restklassenring von Polynomen: Inverse Hallo, ich habe ein Problem bei der Bestimmung des multiplikativ Inversen in Polynom-Restklassenringen. Sei K ein Körper, p und q Polynome in K[x]. Gesucht ist q^-1 in K[x]/p. Dazu berechne ich mit dem euklidischen Algorithmus ggT(p,q) und die entsprechende Bezout-Identität ggT = a*p + b*q. Falls der ggT in K* liegt ist q invertierbar, man invertiert ggT und die Identität, rechnet modulo und erhält das Inverse. Soweit ist mir alles klar. Was ist denn nun, wenn der ggT nicht in K* liegt. Ist dann noch zu untersuchen, ob ggT in K[x]/p invertierbar ist? Meine Ideen: Denn sollte das der Fall sein, lässt sich doch wie folgt ein Inverses finden: [ggT] = [a][q] => [1] = [ggT]^-1 * [ggT] = [ggT]^-1 * [a]*[q] => [q]^-1 = [ggT]^-1 * [a] Ist das soweit richtig? Wie weise ich also nach, dass q aus K[x]/p nicht(!) invertierbar ist? |
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| 28.02.2012, 14:18 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn der ggT keine Einheit ist, so ist q gar nicht invertierbar. |
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| 28.02.2012, 15:23 | tr33burn | Auf diesen Beitrag antworten » |
Muss der ggT denn eine Einheit in K[x] sein, oder in K[x]/p ? Wenn er eine Einheit in K[x] ist, ist die Sache ja klar (dann existiert ein Inverses in K[x] das sich wie oben anwenden lässt). Mein Problem ist gerade der zweite Fall, da ich ja nicht weiß, ob der ggT Einheit in K[x]/p ist. Um das nämlich zu widerlegen müsste ich zeigen, dass der ggT vom ggT und p wieder keine Einheit ist und ich stehe wieder vor dem gleichen Problem. |
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