Beweis von lineare Abhängigkeit

28.02.2012, 14:16

Zeberuus

Beweis von lineare Abhängigkeit

Ich hab hier an sich kein Problem möchte es nur von euch abgesegnet wissen, was ich da fabriziert habe ;-)

Ich soll die lineare Abhängigkeit der Vektoren $\begin{eqnarray*} v =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab mir jetzt einfach gesagt das ja auch folgendes gilt

$\begin{eqnarray*} span<\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} detA \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1*0-0*2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .... das reicht doch schon als Beweis oder ??

Andere Wege zum Nachweis der Abhängigkeit für diesen Fall sind zudem auch ausdrücklich erwünscht ;-). Danke allen schonmal im Voraus

28.02.2012, 14:23

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis von lineare Abhängigkeit
andere Idee:
Warum prüfst du nicht einfach die lin. Unabhängigkeit durch ein homogenes LGS?
bzw. versuchst zu finden, dass die trviale Lösung des Nullvektors die einzige Möglichkeit ist den Nullvektor zu kombinieren?

28.02.2012, 14:33

Zeberuus

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay du meinst mit anderen Worten zu zeigen, dass wenn ich a*v+b*u=0 habe sich quasi für b unendlich viele Möglichekeiten ergeben....?!

Naja bin halt kein Mathematiker und brauch für mich einfach was eindeutiges, in diesem Fall die Null der Determinante :-) (falls das denn überhaupt so gemacht werden kann)

28.02.2012, 14:50

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

a*v+b*u=0 habe sich quasi für b unendlich viele Möglichekeiten ergeben

wie müsste denn dein a gewählt werden?

28.02.2012, 16:26

Zeberuus

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade auf, dass meine Matrix oben wie folgt aussieht

A= 1 0
2 0

28.02.2012, 16:31

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Determinantenverfahren kann man das machen, das ist wohl richtig.

Im vorliegenden Fall sieht man es aber auch sofort, dass die Vektoren linear abhängig sind, weil einer der Vektoren der Nullvektor ist. Der Nullvektor allein ist nämlich schon linear abhängig.

Der Weg von martinio wäre der: Angenommen, es gelte

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann müsste $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung für diese Gleichung sein, damit die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Ist aber offensichtlich nicht der Fall, denn man kann $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$ und dann für $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ irgendwas einsetzen, die Gleichung wäre auch erfüllt. Also linear abhängig.

28.02.2012, 23:09

Zeberuus

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe! Dann wäre das auch geklärt :-)

Neue Frage »

Antworten »

Beweis von lineare Abhängigkeit

Verwandte Themen