n-te Ableitung der Wurzelfunktion

28.02.2012, 15:05	0Jannik0	Auf diesen Beitrag antworten »
n-te Ableitung der Wurzelfunktion Ich habe versuchte die n-te Ableitung der Wurzelfunktion aufzustellen, also für $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ Für die ersten 4 Ableitungen ergibt sich $\begin{eqnarray} f^{(1)}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{(2)}(x) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{(3)}(x) = \frac{3}{8x^{2} \sqrt{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16x^{3} \sqrt{x}} \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich nun die Vermutung für die allgemeine Form $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) =(-1)^{n-1} \frac{(2n-3)!!}{2^{n}x^{n-1}\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ Diese soll nun über vollständige Induktion bewiesen werden. Der Induktionsanfang ergibt sich trivialerweise, der Induktionsschritt lautet $\begin{eqnarray} f^{(n+1)}(x) =(-1)^{n}* \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}x^{n}\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ Zunächst habe ich dann eine Funktion $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ aufgestellt, für die gilt $\begin{eqnarray} g(x) =(-1)^{n-1}* \frac{(2n-3)!!}{2^{n}} * \frac{1}{x^{n-1}\sqrt{x} } \end{eqnarray}$ also eine Funktion, die der Behauptung entspricht. Diese soll nun abgeleitet werden. Für eine Funktion $\begin{eqnarray} h(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(x)=x^{n-1} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ erhält man nach Produktregel als Ableitung $\begin{eqnarray} h'(x)=\frac{x^{n-1} }{2\sqrt{x} } +(n-1)x^{n-2}\sqrt{x} \end{eqnarray}$ Dementsprechend erhält man nach Anwendung der Kehrtwertregel für eine Funktion $\begin{eqnarray} j(x)=\frac{1}{x^{n-1} \sqrt{x} } \end{eqnarray}$ als Ableitung $\begin{eqnarray} j'(x)=(-1) \frac{\frac{x^{n-1} }{2\sqrt{x} }+(n+1)x^{n-2} \sqrt{x} }{x^{2n-1} } \end{eqnarray}$ Diese benutze ich nun um die Ableitung von $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ zu bilden. Man erhält $\begin{eqnarray} g'(x)=(-1)^{n-1}* \frac{(2n-3)!!}{2^{n}}(-1) \frac{\frac{x^{n-1} }{2\sqrt{x} }+(n+1)x^{n-2} \sqrt{x} }{x^{2n-1} } \end{eqnarray}$ Soweit so gut, bis hierhin habe ich auch nach mehrfachen durchrechnen keinen Fehler gefunden. Nach einigen Umformungen (die spare ich mir jetzt erstmal an dieser Stelle, falls benötigt, poste ich sie natürlich nach), erhält man dann: $\begin{eqnarray} g'(x)=(-1)^{n}* (\frac{(2n-3)!!+(2n-3)!!(n-1)2x^{2}}{2^{n+1}x^{n} \sqrt{x} } \end{eqnarray}$ Und an dieser Stelle habe ich nun meine Probleme. Der Vorfaktor $\begin{eqnarray} (-1)^{n} \end{eqnarray}$ stimmt schon mit dem Induktionsschritt überein, der Nenner auch. Der Zähler macht mir aber noch Probleme, besonders da noch die Variable $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ vorhanden ist, wodurch eine Umformung zu $\begin{eqnarray} (2n-1)!! \end{eqnarray*}$ natürlich nicht so einfach möglich ist. Ich hoffe jemand kann den Fehler finden
28.02.2012, 15:49	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: n-te Ableitung der Wurzelfunktion Versuch doch mal das Ganze komplett als Potenz zu schreiben. Also z.B.: $\begin{eqnarray} f^{(4)}(x)=\frac{-15}{16}x^{\frac{-7}2} \end{eqnarray}$ Und weil ich's nicht so mit der Doppelfakultät habe, hätte ich dann als n-te Ableitung: $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\cdot\frac{(2n-2)!}{2^{2n-1}(n-1)!}~\cdot x^{\frac 12-n} \end{eqnarray}$ die sich dann ganz locker - und vor allem kurz und knapp - durchinduzieren lässt.
28.02.2012, 18:07	0Jannik0	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, mit der Darstellung komme ich weiter Mir fehlt nur noch eine Umformung bis zum endgültigen Beweis, nämlich den Zähler. Diesen müsste ich von $\begin{eqnarray} 4n²((2n-2)!-2n(2n-2)!) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (2n)! \end{eqnarray}$ umformen. Müsste möglich sein, laut Wolfram Alpha stimmen zumindest die Möglichkeiten n=1 bis n=5 . (Hier / Hier Mehr als $\begin{eqnarray} 2n(2n(2n-2)!-(2n-2)! \end{eqnarray}$ kriege ich leider nicht hin, 2 verschiedene Fakultäten als Differenz machen mir Probleme.
28.02.2012, 18:29	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast Du Dich wohl irgendwo verrechnet, denn $\begin{eqnarray} 4n^2((2n-2)!-2n(2n-2)!)\neq (2n)! \end{eqnarray}$ Richtig wäre $\begin{eqnarray} 4n^2(2n-2)!-2n(2n-2)!=2n(2n(2n-2)!-(2n-2)!)=2n(2n-1)(2n-2)!=(2n)! \end{eqnarray}$
28.02.2012, 18:46	0Jannik0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach verdammt, hatte hier nur die Klammer falsch gesetzt.. Genau so meinte ich das auch, hatte ich auch in meinem geposteten Wolfram Alpha Link so geschrieben und in meiner Umformung unten drunter. Der zweite Schritte hatte mir gefehlt, ich konnte die Differenz einfach nicht in ein Produkt umwandeln Danke

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