Integration Fehler??

28.02.2012, 15:37

zunku

Integration Fehler??

Meine Frage:
Wo ist bloß der Fehler:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{x+5}{x^2 + 4x + 20} \, dx \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{x+5}{(x+2)^2 + 16} \, dx \end{eqnarray*}$

Substitution: 4t = x+2 , x = 4t - 2 , dx = 4dt

$\begin{eqnarray*} 4 * \int_a^b \! \frac{x+5}{16t^2 + 16} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4/16 * \int_a^b \! \frac{x+5}{t^2 + 1} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4/16 * \int_a^b \! \frac{4t + 3}{t^2 + 1} \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4/16 * \int_a^b \! \frac{4t}{t^2 + 1} \, dx + 4/16 * \int_a^b \! \frac{3}{t^2 + 1} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ln | t^2 + 1 | + \frac{3}{4} arctan \left(\frac{x+2}{4} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ln | \frac{x^2 + 4 + 20}{16} | + \frac{3}{4} arctan \left(\frac{x+2}{4} \right) \end{eqnarray*}$

Stimmt alles bis auf die 16 im ln-Argument.. das passiert aber immer, der Zähler ist die Lösung aber es kommt immer zu einem Bruch.. falsch weitersubtituiert??

28.02.2012, 15:51

Helferlein

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Ich erlaube mir zwei Anmerkungen:

1) Das Ergebnis stimmt. Du hast eine korrekte Stammfunktion ermittelt. Wenn Du eine andere raushaben willst, musst Du entweder einen anderen Weg gehen oder die Grenzen anpassen.

2) Die Darstellung lässt für einen Hochschüler sehr zu wünschen übrig. Wenn Du substituierst, ersetzt Du alle x durch t und zwar in einem Schritt und nicht in drei Einzelschritten zwischen denen Du noch den Term umformst.

28.02.2012, 15:54

Mulder

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RE: Integration Fehler??
Du hast alles richtig gemacht. Bloß sind Stammfunktionen immer nur bis auf konstante Summanden eindeutig. Und es ist

$\begin{eqnarray*} \ln \left ( \frac{x^2+4x+20}{16} \right ) = \ln(x^2+4x+20)-\ln(16) \end{eqnarray*}$

Und das -ln(16) verschwindet beim Ableiten sowieso wieder. Es ist also völlig egal, ob man das nun dazuschreibt oder weglässt. Ein CAS verzichtet wohl drauf...

28.02.2012, 16:01

Zunku

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Komisch, dann könnte da ja auch 200 im Bruch stehen.. ?

28.02.2012, 16:05

Helferlein

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Richtig, das könnte es. Oder $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , ln 5 oder -17567.
Wie Mulder schon gesagt hat: Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch einen additive Konstante.

28.02.2012, 16:18

klauss

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RE: Integration Fehler??
Mußte es eigentlich unbedingt Substitution sein? Es hätte sich auch Partialbruchzerlegung angeboten.

28.02.2012, 16:22

Mulder

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RE: Integration Fehler??

Zitat:

Original von klauss
Mußte es eigentlich unbedingt Substitution sein? Es hätte sich auch Partialbruchzerlegung angeboten.

Wie willst du den Nenner denn faktorisieren?

28.02.2012, 16:33

klauss

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RE: Integration Fehler??
Gar nicht, aber da im Zähler ein linearer Term steht und im Nenner ein quadratischer, kann ich den Ausdruck so umformen, dass im Nenner der quadratische Term steht und im Zähler dessen Ableitung. Dazu addiere ich einen zweiten Term, wo nur der quadratische Term im Nenner steht (Multiplikation mit Konstanten mal außen vor). Damit teile ich den Ausdruck in 2 Integrale auf, die zum selben Ergebnis führen.

28.02.2012, 16:37

Mulder

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RE: Integration Fehler??
Das ist doch nur eine andere Reihenfolge. Genau das hat zunku hier...

Zitat:

Original von zunku
$\begin{eqnarray*} 4/16 * \int_a^b \! \frac{4t + 3}{t^2 + 1} \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4/16 * \int_a^b \! \frac{4t}{t^2 + 1} \, dx + 4/16 * \int_a^b \! \frac{3}{t^2 + 1} \, dx \end{eqnarray*}$

doch gemacht, das Integral aufteilen.

Bei deiner Methode würdest du das zuerst machen und müsstest anschließend beim zweiten Integral immer noch eine lineare Substituiton durchführen, um ein Grundintegral zu erhalten.

Ich seh da grad keinen Unterschied...

28.02.2012, 16:42

klauss

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RE: Integration Fehler??
Ich meinte ja auch nur, weil die Substitution gleich am Anfang für etwas Verwirrung sorgte.

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