Ergänzungssatz Residuum

28.02.2012, 15:40	Maditat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergänzungssatz Residuum Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe eine Frage zum Residuum. Ich möchte das folgende Integral auf diese Weise integrieren: $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! \frac{u^{-z}}{1+u} \, du = \frac{\pi }{\sin(\piz)} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Der Intagrationsweg sieht folgendermaßen aus: (wenn man sich zunächst auf reelle $\begin{eqnarray} z=x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0<x<1 \end{eqnarray}$ beschränkt) Zunächst gehe längs der reellen Achse von $\begin{eqnarray} u=p \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} u=R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0<p<1<R \end{eqnarray}$ , dann längs des positiv durchlaufenen Kreises $\begin{eqnarray} \| u \|=R \end{eqnarray}$ , dann zurück längs der reellen Achse von $\begin{eqnarray} u=R \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} u=p \end{eqnarray}$ , und schließlich auf dem negativ durchlaufenen Kreis $\begin{eqnarray} \| u \|=p \end{eqnarray}$ zurück zum Ausgangspunkt. Wie kann ich mir das graphisch vorstellen? Ich versuche den (natürlich noch nicht vollständigen) Beweis nachzuvollziehen und eine graphische Vorstellung zum Residuenkalkül ist vielleicht hilfreich? Danke für eure Hilfe!! Viele Grüße Madita
29.02.2012, 03:23	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Den Integrations-Weg kannst du z.B. hier sehen (der dritte). Gruss

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