Unabhängigkeit von Summen unabhängiger ZV

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Unabhängigkeit von Summen unabhängiger ZV
Meine Frage:
Hi, daran stecke ich jetzt schon länger fest:
"Seien unabhängige reelle Zufallsvariablen und . Zeige, dass dann auch und unabhängig sind."

Meine Ideen:
Also zunächst mal habe ich mich auch den Fall beschränkt, d.h. sollen unabhängig sein, sodass zu zeigen wäre, dass von unabhängig ist.
Dann habe ich mir überlegt, dass man vielleicht mit der zweidimensionalen ZV arbeiten könnte, aber irgendwie komm ich da hinten und vorne nicht weiter.
Ich weiß schon, dass und genau dann unabängig sind, wenn für alle gilt, dass
, aber wenn ich das versuche aufzuspalten, komme ich auf

aber das hilft mir auch nicht wirklich weiter, um die Aufzählung in der Klammer zu einem Produkt aus Wahrscheinlichkeiten zu machen ...

Ich bitte um Hilfe Big Laugh Ach so, vielleicht hat jemand das Buch auch: Ich stieß auf das Problem im Buch "Stochastik" von Schäfer/Meintrupp beim Beweis von Lemma 10.11. Dort wird das einfach erwähnt, aber nicht bewiesen.
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