Rechnerisches Lösen quadratischer Gleichungen

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kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnerisches Lösen quadratischer Gleichungen
Meine Frage:
in eine rechtwinklige zimmerecke wird ein kreisrunder tisch, dessen durchmesser größer als 1m ist, so gestellt, dass er beide wände berührt. es gibt auf dem tischrand mindestens einen punkt, der von einer der beiden wände 20cm und von der anderen 40cm abstand hat. berechne die durchmesserlänge des tisches

Meine Ideen:
mitternachtsformel
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast bestimmt mehr Ideen als bloß die Mitternachtsformel.

Mache dir doch erst einmal eine Skizze.
 
 
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »
re
skizze habe ich, bringt mich aber auch nicht weiter.
würde vielleicht eine parabelgleichungaufstellen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Skizze sieht so aus.

Versuche mal die Abstände usw. mathematisch zu beschreiben.

Tipp: Pythagoras


Ich Entschuldige mich für die Qualität des Bildes ^^
mein Zeichenprogramm ist für sowas nicht geeignet.
Es ist halt ein Zeichenprogramm.
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Skizze
ich hab aber trotzdem eine Frage:
der rote Punkt auf dem Kreis ist doch von der Waagrechten 40cm und von der Senkrechten 20 cm entfernt, oder?
Muss man jetzt eine Parabelgleichung aufstellen, oder soll man durch überlegen und einzelne Rechenschritte auf die Lösung kommen?
ich verstehe nämlich nicht, wie man auf die Katheten kommt, um x zu berechnen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Parabelgleichung aufzustellen ist eher schwierig.
Du musst dir erstmal über ein paar Rechenschritte oder Gedanken eine Gleichung erarbeiten.


Versuche die Strecken usw. über den Satz des Pythagoras zu beschreiben und so ein Gleichungssystem aufzustellen.

Ich habe mal eine schönere Skizze angefertig.
Ich hoffe ich kann sie einfügen.
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

ist die Kathetenseite a: d-20
und die Kathetenseite b: d-40 ?
sollich dann mit diese "umschreibung" den satz des pythagoras verwenden?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. Freude

Sry das meine Antworten so zögerlich kommen, das Matheboard will heute irgendwie nicht so recht.
gast2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Service.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke gast2011 für den tollen Service Freude

Ich habe auch versucht mein mit Geogebra erstelltes Bild anzufügen, aber das hat nicht funktioniert.
Wie hast du das geschafft??
Ich bin für solche Sachen nämlich relativ unbegabt. ^^
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

entschuldigung, dass ich erst jetzt zurückschreibe, aber ich hatte Trompetenunterricht

das heißt, dass dann da steht:
x*x=(d-20)*(d-20)+(d-40)*(d-40)
man hatt doch dann 2 Variablen!
eine "normale" Parabelgleichung lautet doch zum Beispiel:
y= x*x+5x+25
oder ist in diesem Fall das x das y in dder "normalen" Parablegleichung?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das x*x auch als was anderes schreiben.

Das was du als x bezeichnet hast soll ja die Hypotenuse sein.
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

und x*x =ja das gleiche wie r*r also radius * radius
und der radius ist d/2 also muss es:
d*d/4=d*d/2-60d+200 heißen, oder habe ich mich verrechnet?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das d der Radius ist ist richtig.
Aber wenn du d noch durch 2 teilst, dann gehst du ja davon aus, dass es der Durchmesser ist.

Darum ist das teilen mit 2 falsch.

Ersetze bloß dein x*x bzw. x^2 durch d^2
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

ok
also:
d*d=2d*d-60d+2000
stimmt das?
als nächstes würde ich d*d abziehen:
0=d*d-60d+2000
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja alles richtig.

Der Schönheit wegen schreibe aber bitte Augenzwinkern das wäre das einzige was ich zu beanstanden hätte. smile

Wie machst du jetzt weiter??
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß leider nicht, wie man das am pc schreibt.
ich bin mir jetzt nicht ganz sicher
muss man jetzt in die scheitelform umwandeln?
(d-30)^2+1100=0
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch direkt zu Anfang die Mitternachtsformel (pq-Formel) als Idee genannt.
Die kannst du jetzt Anwenden.

Scheitelpunktform geht deshalb nicht, weil du damit ja den Scheitelpunkt bestimmst. Du möchtest aber die Nullstellen wissen.


Edit:

Deine Scheitelpunktform ist überigens ein wenig falsch.
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

ok
was genau ist an der falsch? ich möchte es nur wissen.
ich weiß nicht wie man das mit Wurzel und Bruchstrich macht, ich hoffe sie verstehen es.
verwirrt
(60-(+)wurzel von 60^2-4*1*2000)/2
stimmt das?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »



Woher kommt das 4*1??


Um so etwas darzustellen kannst du den Formeleditor benutzen.
Wenn du länger hier im Board aktiv bist hast du die Wichtigen Codes schnell raus und dann dann geht es locker und schnell von der Hand.


Was du bei der Berechnung deiner Scheitelpunktform falsch gemacht hast kann ich so nicht sagen, da müsste ich schon einen Rechenweg für haben.
Ich weiß nur das der Scheitelpunkt bei (60|-1600) liegt.

Du brauchst mich überigens nicht sietzen.
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

bisher habe ich alles genau verstanden, aber ich verstehe nicht warum wir an dieser stelle die Mitternachtsformel verwenden.
weil wir die Schnittpunkte der Parabel mit der x achse wollen das ist klar aber ist der Abstand zwischen diesen punkten dann der durchmesser?
wenn es ihnen nicht allzuviel arbeit macht, könnten sie mir noch eine skizze mit der Parabel eingezeichnet zeigen?
das wäre echt toll
eine ganz einfache zeichnung genügt, die vrestehe ich gut
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse geben ja an, für welchen x-Wert ( in der Aufgabe hier d-Wert) die Funktion 0 wird.

Da wir die Gleichung nach 0 Auflösen sind die Ergebnisse der Mitternachtsformel unsere Lösungen für das Gleichungssystem (und somit die Nullstellen der Parabel)

kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

das 4*1 kommt von der zahl die vor dem x^2 steht also 1
muss man bei dieser formel am ende nicht durch 2 teilen?
ich habs mal in den taschenrechner eingetippt da können ja keine ergebnisse raus kommen, da unter der wurzel ja was negatives steht!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber woher kommt die 4??

Ich muss jetzt leider weg.

Vielleicht hilft ein anderer weiter bei weiteren Fragen, oder ich gucke nochmal in ca. 2 Stunden rein.
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die parabel, aber war unsere Parabelgleichung nicht:
d^2-60d+2000 ?
wenn es dir besser passt könne wir auch morgen weiter machen.
so um 19.15 ?
wann ist es dir am liebsten?
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

meine mitternachtsformel, die ich gelernt habe lautet bei einer
"normalen" parabelgleichung(a*x^2+bx+c)
(8-b-(+)wurzel von b^2-4*a*c)/2*a
a,b und c kommen aus der oben in klammern angegebenen "normalen" parabelgleichung
danke für die tipps und die hilfe bis morgen
du bist eine super Lehrer Gott
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Gleichung stimmt schon.
Da ist mir dann vorhin entgangen, dass du eine andere parat hattest.

Außerdem habe ich auch im eifer des Gefechtes das /2 hinter deiner Rechnung unterschlagen.

So bleibt nur noch der Fehler mit den 60d anstatt 120d.

Ich persönlich wende lieber die pq-Formel, die ein weniger spezieller ist als die Mitternachtsformel, an
Vom Prinzip sind beide gleich, nur musst du, um die pq-Formel anwenden zu können, vor dem x^2 oder d^2 eine 1 stehen haben.
Bei der vorliegenden Gleichung muss man nicht weiter umformen, was natürlich von Gleichung zu Gleichung unterschiedlich ist.

Dann lautet die Formel für die Gleichungsform:


Womit du besser umgehen kannst bleibt dir überlassen.
Ich für meinen Teil finde die pq-Formel handlicher.

Wenn du nun die Gleichung löst erhältst du zwei Ergebnisse, wo eines nicht im Definitionsbereich liegt (da über die Aufgabenstellung gefordert ist, dass der Durchmesser >1m sein soll, aber dann mehr wenn wir morgen weiter machen)

Wink
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

schön, dass wir heute weitermachen smile
ich habe auch gleich noch eine frage
ich hatte doch vorgesclagen,anstatt x d/2 zu nehmen, da ich der annahme war, dass x der radius
warum also nehmen wir d?
wenn es auch mit der mitternachtsformel funktioniert, würde ich lieber diese verwenden, da ich die pq formel noch nicht kenne
ich hab die zalen eingetippt, und es kam wieder kein passendes ergebnis raus
wenn man stattdessen die gleichung mit d/2 nimmt, bekommt man gute zahlen und zwar 40 und 200
(hier noch die Gleichung:0=d^2-240d+8000)
wenn die formel unverständlich ist, dan kann ich auc die ganze formel schicken.
komme erst um 15:30
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

pq-Formel und Mitternachtsformel sind "eigentlich" das selbe.
Mitternachtsformel funktioniert für jede Form der Gleichung.
Z.B. wenn du die Gleichung

hast.

Dann kannst du das direkt verwenden und in die Mitternachtsformel einsetzen.



Wenn du die pq-Formel anwenden wolltest, müsstest du vorher noch durch die Zahl vor dem teilen.



Dann die pq-Formel anwenden:



Du siehst also, das es sich dabei um "eigentlich" ein und das selbe Verfahren handelt. Und wie gesagt, was du von beiden bevorzugst ist deine Sache, aber da ihr in der Schule mit der Mitternachtsformel rechnet würde ich dies beibehalten. Augenzwinkern

Jetzt wieder zum Thema:

Du nimmst an, das x der Radius ist, wobei du mit x die gesuchte Strecke bezeichnest.
Das ist vom Gedanken her richtig, aber wir können x eindeutig durch d bestimmen, da es dasselbe ist. Würdest du es nun x nennen hätten wir eine Gleichung mit 2 Variablen und ein Problem.

Soweit klar?

Wie kommst du auf ?
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

dann heißt das doch, dass wir annehmen, dass d nicht der durchmesser ist.
wenn wir von d für x ausgehen, dann hat sich die gleichung eigentlich erledigt, ich schreib sie aber lieber nochmal.
(d/2)^2=(d/2-20)^2+(d/2-40)^2
d^2/4= (d/2)^2-40 d/2+400+(d/2)^2-80 d/2+1600
d^2/4=2(d/2)^2-120 d/2 +2000
d^2/4=2d^2/4-60d+2000
d^2/4=d^2/2-60d+2000 /*4
d^2=2d^2-240d+8000 /-d^2
0=d^2-240d+8000
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

dann heißt das doch, dass wir annehmen, dass d nicht der durchmesser ist.
wenn wir von d für x ausgehen, dann hat sich die gleichung eigentlich erledigt, ich schreib sie aber lieber:
(d/2)^2=(d/2-20)^2+(d/2-40)^2
d^2/4= (d/2)^2-40 d/2+400+(d/2)^2-80 d/2+1600
d^2/4=2(d/2)^2-120 d/2 +2000
d^2/4=2d^2/4-60d+2000
d^2/4=d^2/2-60d+2000 /*4
d^2=2d^2-240d+8000 /-d^2
0=d^2-240d+8000
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf ??

Wie gesagt:

Das was wir d nennen ist nicht der Durchmesser, sondern der Radius.
Das d durch 2 zu teilen ist nicht notwendig.
Diesen Gedanken brauchen wir später einmal, aber jetzt löse die Gleichung ganz normal mit deiner Mitternachtsformel auf.

Also:




Und diesmal nicht d zu d/2 machen Augenzwinkern
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab gedacht, dass d der durchmesser ist und wir deshalb d/2 nehmen müssen
dann kommt
0=d^2-120d+2000
x1=20
x2=100
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist richtig. Freude
Das kann man ja auch an der Zeichnung sehen.

Ebenso kannst du an der Zeichnung mit dem Kreis sehen, dass d nicht der Durchmesser sein kann und es der Radius sein muss.

Weiter im Text:

Wir wissen nun, dass d ein Radius von 20cm oder 100cm sein kann.

Über die Aufgabenstellung ist, aber ein Durchmesser von über 1m gefordert.
(Jetzt kommt dein Gedanke mit dem Durchmesser zu tragen)

Welches Ergebnis erfüllt diese Bedingung nicht und kann somit ausgeschlossen werden??
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich die 20cm, denn wenn man die *2 nimmt, kommt für
d nicht mehr als 1m raus
also muss der radius 100cm sein
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig. Freude

Damit hätten wir die Aufgabe schon gelöst.

Hast du noch fragen, oder gibt es noch etwas was dir nicht ganz klar ist??
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

ich esse jetzt schnell was und bin in spätenstens einer halben stunde zurück.
ich schreib dann wieder. Prost
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

und zwar folgendes:
#ich muss das dem lehrer und der klasse ja erklären, wie ich auf diese idee gekommen bin.
und da weiß ich nicht, wie ich erklären soll, wie ich in meiner, besser gesagt deiner zeichnung auf die idee mit dem dreieck gekommen bin
kiezkicker Auf diesen Beitrag antworten »

man hätte eigentlich auch anstatt d x lassen können,oder?
man hätte doch trotzdem nur 1 variable gehabt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabenstellung lautet ja so:

Zitat:
in eine rechtwinklige zimmerecke wird ein kreisrunder tisch, dessen durchmesser größer als 1m ist, so gestellt, dass er beide wände berührt. es gibt auf dem tischrand mindestens einen punkt, der von einer der beiden wände 20cm und von der anderen 40cm abstand hat. berechne die durchmesserlänge des tisches



Daraus können wir uns die Skizze konstruieren.
Wir wissen, das der Kreis beide Wände berührt.
Wir wissen, das es auf dem Tischrand mindestens einen Punkt gibt, der von einer Wand 20cm und von der anderen Wand 40cm weit entfernt ist, und wollen den Durchmesser des Tisches ermitteln.


Aus diesen Informationen stellen wir erst einmal eine Skizze an.
Du malst dir eine Ecke und einen Kreis der irgendwie die Wände berührt.
Dann nimmst du für die Skizze einen Punkt, von dem du ja weißt das er die Eigenschaft hat von einer Wand 40 und der anderen 20cm weit entfernt zu sein.

Da wir den Durchmesser haben wollen kann der Satz des Pythagoras nun helfen, da wir ein Rechtwinkliges Dreieck haben und die Seiten in Abhängigkeit von einer Variabelen (d) darstellen können und somit der Auflösung nichts im weg steht.

Es zu erklären ist ein wenig blöd. Ich weiß nicht in wie weit es nun verständlicher war. Wenn es noch immer unklar ist suche ich andere Worte es zu verdeutlichen.

Über das richtige verständnis der Aufgabe und dem Wissen wie du sie lösen kannst, kommst du auf eine brauchbare Skizze bzw. kannst über eine brachbare Skizze auf die Folgegedanken kommen.


Edit: Ja du hättest d auch x nennen können. Du hättest halt bloß eine einhaltiche Variabele nehmen müssen. Du kannst nicht in der Gleichung d und x verwenden sondern musst dich für eins Entscheiden.
(Natürlich gibt es auch Gleichungen mit mehr Variabelen, ist für die Aufgabe hier aber irrelevant)
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