(Topologischer) Abschluss von Q

28.02.2012, 16:20	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
(Topologischer) Abschluss von Q Hi Ich hab eine eigentlich relativ einfache Frage: Wie kann ich formal beweisen, dass der Abschluss ("closure") von Q = R ist? Dabei haben wir Abschluss wie folgt definiert: 1) Die kleinste abgeschlossene Menge, die Q enthalten würde Dabei ist eine abgeschlossene Menge das Komplement einer offenen Menge (i.e. alle Punkte sind innere Punkte) in einer gegebenen Obermenge. Im Fall von Q komm ich aber nicht wirklich auf einen grünen Zweig. Hat mir jemand einen Tipp zum Beginnen? LG
28.02.2012, 16:35	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Topologischer) Abschluss von Q hallo anahita, ich glaube dazu müsste man beweisen, dass es sozusagen keine menge gibt, die "zwischen" Q und R liegt und trotzdem alle erforderlichen eigenschaften hat. gruss ollie3
28.02.2012, 16:37	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du denn schon, dass Q dicht in R liegt? Letztendlcih ist das äquivalent dazu.
28.02.2012, 16:39	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Wie genau würde das aber aussehen? Und würde es nicht auch helfen, das Komplement von Q in R anzuschauen und von dort weiterzufahren?
28.02.2012, 16:56	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
@tmo Ja, ich weiss um die Äquivalenz. Intuitiv ist mir der Zusammenhang auch klar: R ist die "Ergänzung" von Q (um die fehlenden inneren Punkte). Aber. Wir müssen das mit den Werkzeugen aus der Topologie zeigen, dh anhand der genannten Definition und mit Hilfe der Mengenoperationen (Komplement, Schnitt etc.).
28.02.2012, 18:25	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtdestotrotz wirst du die Aussage aus der Analysis, dass Q dicht in R liegt, in irgendeiner Form benutzen müssen. Z.b. so: Wir nehmen es gebe eine reelle Zahl, die nicht im Abschluss von Q liegt. Da der Abschluss abgeschlossen ist, gibt es dann eine ganze Umgebung, die nicht im Abschluss von Q liegt. Insbesondere liegt in dieser Umgebung dann keine rationale Zahl.
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28.02.2012, 18:37	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
@tmo 'Q dicht in R' gilt für jede Topologie ? ... was mich wundert, denn man spricht über Eigenschaften, bevor eine Topologie genannt wurde.
28.02.2012, 18:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe hier von der Standardtopologie aus, da nichts dagegen spricht und auch nichts anderes gesagt wurde.

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