Allg. Lsg. einer homogenen DGL 2.Ordnung

28.02.2012, 17:51	Quno	Auf diesen Beitrag antworten »
Allg. Lsg. einer homogenen DGL 2.Ordnung Hallo zusammen! Folgende Frage quält mich zur Zeit und ich kann sie weder mit Google noch mit meinen Büchern beantworten: "Satz: Die allg. Lösung einer homogenen DGL 2.Ordnung ist als Linearkombination zweier linear unabhängiger Lösungen $\begin{eqnarray} y_1 (x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 (x) \end{eqnarray}$ darstellbar." Soweit alles klar. Der Beweis startet nun aber mit: "Es genügt zu zeigen, dass es für beliebig vorgegebene Anfangswerte $\begin{eqnarray} y(x_0)=y_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'(x_0)=m \end{eqnarray}$ genau eine Lösung in Form einer Linearkombination $\begin{eqnarray} y(x)=A\cdot y_1 (x) + B\cdot y_2 (x) \end{eqnarray}$ gibt." Moment: Im Satz steht aber nichts von einem Anfangswertproblem. Daher meine Frage: Gilt dieser Satz auch für Randwertprobleme? Besten Dank!
28.02.2012, 23:22	Quno	Auf diesen Beitrag antworten »
...ähm, beim erneuten Durchlesen habe ich bemerkt, dass ich die Frage etwas komisch formuliert habe . Also nochmals: Der Beweis geht davon aus, dass zur Bestimmung einer partikulären Lösung die Startwerte $\begin{eqnarray} y(x_0)=y_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'(x_0)=m \end{eqnarray}$ vorgegeben sind. Warum reicht das aus? Was, wenn bspw. $\begin{eqnarray} y(x_0)=y_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y(x_1)=y_1 \end{eqnarray}$ bekannt sind um eine partikuläre Lösung zu bestimmen: Ist dann die so erhaltene partikuläre Lösung auch eine Linearkombination der linear unabhängigen Lösungen? Hoffentlich ist diese Formulierung jetzt verständlicher

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