Reihenkonvergenz

28.02.2012, 18:19

bruno2

Reihenkonvergenz

es geht um folgende reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty (-3)^k*\frac{1}{\sqrt{k^2-1} } \end{eqnarray*}$

wenn statt der -3 eine -1 dastehen würde, dann würde das ganze nach dem leibnitz lriterium konvergeiren, da der bruch eine nullfolge ist.

wie ist das aber hier?
Wink

28.02.2012, 18:27

Zizou66

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RE: konvergiert die reihe?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty (-3)^k\frac{1}{\sqrt{k^2-1} }=\sum\limits_{k=2}^\infty (-1)^k\frac{3^k}{\sqrt{k^2-1} } \end{eqnarray*}$

Jetzt Leibniz anwenden?

28.02.2012, 18:49

bruno2

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oh danke für den tipp. ist meine überlegung richtig?

$\begin{eqnarray*} \frac{3^k}{\sqrt{k^2-1} } \geq \frac{3^k}{\sqrt{k^2 } } =\frac{3^k}{k} \geq \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

und die harmonische reihe divergiert, also divergiert die reihe nach dem minorantenkriterium

war das richtig abgeschätzt?

28.02.2012, 18:55

Zizou66

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Die Abschätzung ist richtig, aber passt nicht zur Aufgabe. Du hast es hier mit einer alternierenden Folge zu tun und die alternierende harmonische Reihe konvergiert.

28.02.2012, 19:20

bruno2

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ich bin mir nicht sicher, ob ich das jetzt richtig verstanden habe.

das ganze konvergiert also, weil die folge $\begin{eqnarray*} \frac{3^k}{\sqrt{k^2-1} } \geq \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ist eine nunnfolge. also ist der bruch auch eine nullfolge.

nach dem leibnitzkriterium ist die reihe aus dem ersten beitrag eine konvergente reihe.

so korrekt?

28.02.2012, 19:32

Zizou66

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Nein so war das nicht gemeint.

Dass

$\begin{eqnarray*} \frac{3^k}{\sqrt{k^2-1}}\geq\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

ist, sagt doch nichts darüber aus, ob die Folge konvergiert oder nicht.

Wie lautet das Leibniz-Kriterium?

28.02.2012, 19:34

Ungewiss

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$\begin{eqnarray*} \frac{3^k}{\sqrt{k^2-1}}\geq 2 \end{eqnarray*}$

Die Ungleichung gilt für alle k>1, also ist die Folge der Summanden gewiss keine Nullfolge und die Reihe divergent.

Vielleicht verstehe ich auch nicht den tieferen Sinn, weshalb hier auf das Leibnitzkriterium verwiesen wird verwirrt

28.02.2012, 19:36

bruno2

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wieso nicht? für k gegen unendlich konvergiert 1/k. nach dem minorantenkriterium müsste doch dann auch der bruch für k gegen unendlich konvergieren, oder nicht?

$\begin{eqnarray*} (-1)^n *nullfolge = konvergent \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)^n *nichtnullfolge = divergent \end{eqnarray*}$

28.02.2012, 19:49

Zizou66

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Zitat:

Original von Ungewiss
$\begin{eqnarray*} \frac{3^k}{\sqrt{k^2-1}}\geq 2 \end{eqnarray*}$

Die Ungleichung gilt für alle k>1, also ist die Folge der Summanden gewiss keine Nullfolge und die Reihe divergent.

Vielleicht verstehe ich auch nicht den tieferen Sinn, weshalb hier auf das Leibnitzkriterium verwiesen wird verwirrt

Damit bruno2 genau dies selbst sieht.

Zitat:

Original von bruno2 wieso nicht?

Nimm doch mal k>1/k, damit erzeugst du auch keine konvergente Reihe.

28.02.2012, 19:53

Ungewiss

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Aha, dann sorry reingeplatzt zu sein Forum Kloppe

28.02.2012, 19:56

bruno2

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ok hatte nen denkfehler. danke an euch!

29.02.2012, 00:34

Todesnarr

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Hmmm für meine Frage muss ich ja net extra nen neues Thema eröffnen (betrifft auch Reihen)...
Das Wurzelkriterium. Bisher dachte ich man könnte es einfach so anwenden. Aber jetzt lese ich in unserem Skript:

Zitat:

"Achtung! Das Wurzelkriterium sagt nur etwas aus, wenn ab n0 alle Summanden fallen bzw. nicht fallen. Wenn sie manchmal fallen und manchmal wachsen, dann gibt das Kriterium
keine Aussage."

Ich muss doch jetzt net wirklich noch vorher die Monotonie zeigen?? Ich meine Reihen die man mit Wurzelkrit. untersucht sehen ja immer in etwa so aus: <<irgendwas>>^n oder <<irgendwas>>^n^2
Und das wäre nicht sooo schön da Monotonie zu zeigen....

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