Nachweisen dass Ebene zu Ebenenschar gehört - Vektoren |
| 28.02.2012, 18:47 | J2911 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Nachweisen dass Ebene zu Ebenenschar gehört - Vektoren Hallo, ich übe gerade fürs Abi und da ist mir eine Aufgabe untergekommen die ich nicht ganz lösen kann. Es ist ein Koordinatensystem gegeben mit den Punkten A(4|0|4) B(4|4|4) C(0|4|4) und D(4|4|0). Nach ein paar teilaufgaben habe ich nun also die Ebene Eacd in Parameterform: und in Koordinatenform: -32=4x+y+4z. (falls das Falsch ist, korrigiert mich, müsste aber richtig sein). Nun muss ich nachweisen, dass die gerade genannte Ebene zu der Ebenenschar Et: 2x+2y+2tz-8-8t=0 gehört. ich habe nun also die Ebenenschar mit der Koordinatenform der anderen Ebene gleichgesetzt, woraus sich ergibt: 4x + y + 4z + 32 = 2x + 2y + 2tz - 8 - 8t -> ich habe nun also die Ebenenschar mit der Koordinatenform der anderen Ebene gleichgesetzt, woraus sich ergibt: 4x + y + 4z + 32 = 2x + 2y + 2tz - 8 - 8t -> 2x-y+4z+40 = 2tz -8t Wir haben in der Klasse nen Roten Faden versucht zu erstellen für sowas, da soll wohl ein bestimmtes t herauskommen, womit bewiesen wäre, dass die Ebende in der Schar liegt. Meine Ideen: Dass was ich nun ausprobiert hab ist einfach einen Punkt, der auf der Ebene liegt ienzusetzen, in diesem Beispiel A(4|0|4). Daraus folgt: 8+16+40 = 8t- 8t was nicht sein kann, da sich die t gegeneinander aufheben würden und dies eine falsche Aussage ergibt. Was mache ich falsch? Vielleicht das t ausklammern? aber das bringt mich auch nicht weiter. Vielen Danke für die Hilfe |
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| 28.02.2012, 21:54 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kann man Ebenen in Koordinatenform gleichsetzen ? ............ eigentlich nicht! Eine solche Ebene ist nur durch seine eigene Lösungsmenge explizit darstellbar. Also in Parameterdarstellung. Wenn du nachweisen willst, dass 2 Ebenen in Koordinatenform gleich sind, dann musst du zeigen, dass deren Schnittmenge mit der "ersten" Ebene identisch ist. Andererseits: notwendige Bedingung ist, dass die Normalenvektoren der Ebenen linear abhängig sind. Versuch da mal einzusteigen... |
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| 28.02.2012, 22:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In diesem Fall sind die Ebenen zwar nicht direkt gleichzusetzen, aber man kann beide leicht miteinander vergleichen. Dazu genügt ein kleiner Trick: Dividiere beide Ebenengleichungen durch das allgemeine Glied (damit ist die Konstante gemeint). Dann haben beide Ebenen 1 als konstantes Glied und sofort sind dann deren andere Koeffizienten direkt vergleichbar. mY+ |
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| 28.02.2012, 23:15 | SusiQuad | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
*uhhh* mYthos Erwähne noch das Zauberwort 'Hesseform' oder 'Normalvektor'. |
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| 29.02.2012, 00:25 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ebenengleichung ist falsch. Kein einziger der Punkte A, C oder D liegt in der Ebene. Mit der richtigen Gleichung ist das t der Ebenenschar dann fast schon direkt ersichtlich oder wie von mYthos beschrieben zu berechnen. |
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