linksseitiger, rechtsseitiger und einseitiger Grenzwert

28.02.2012, 22:43	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
linksseitiger, rechtsseitiger und einseitiger Grenzwert Meine Frage: hey! guten Abend. Ich habe eine verständnisfrage: Ich versteh nicht ganz den unterschied zwischen oben genanntem. Meine Ideen: Im buch steht $\begin{eqnarray} \lim_{x \searrow 0}sgn(x) =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \nearrow 0}sgn(x) =-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}sgn(x) \end{eqnarray}$ existiert nicht Wenn ich jetzt stetigkeit im punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ überprüfen will, kann ich dann sowohl den linksseitigen, als auch den rechtsseitigen oder einseitigen grenzwert benutzen? Was wenn es nur links- oder rechtssetigen gibt, ist dann der einseitge automatisch rechts- oder linksseitiger?
28.02.2012, 23:02	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linksseitiger, rechtsseitiger und einseitiger Grenzwert Hallo mal wieder Wenn der Linksseitige und der Rechtsseitige Grenzwert existieren und beide gleich sind, dann ist der Grenzwert eindeutig. $\begin{eqnarray} \lim_{x \searrow a}f(x) =\lim_{x \nearrow a}f(x) =b \end{eqnarray}$ So ist der einndeutige Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to a}f(x)=b \end{eqnarray}$ (beidseitiger Grenzwerz)
28.02.2012, 23:10	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linksseitiger, rechtsseitiger und einseitiger Grenzwert hey Das heißt der einseitge grenzwert ist ist die kurzform (z.b. in der schule) für den linksseitigen und den rechtsseitgen zusammen? Also rechtsseitiger und linksseitiger grenzwert ergeben zusammen den einseitigen grenzwert (wenn links- und rechtsseitiger gleich sind)? Sry bin eine nachfragerin, die lieber noch einmal nachfrägt zu sicherheit :-) Gleich noch eine 2. Frage: es heißt bei uns im skript: f ist stetig in $\begin{eqnarray} x_0 \iff \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray}$ Was ist aber, wenn f z.b. so ist: $\begin{eqnarray} f: [0,\infty )\to \mathbb R \end{eqnarray}$ und in 0 aus stetigkeit überprüft werden soll, dann gibt es doch nur den rechtsseitigern grenzwert und damit kein einseitigen, oder?
28.02.2012, 23:51	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linksseitiger, rechtsseitiger und einseitiger Grenzwert Wieso nennst du den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to a} \end{eqnarray}$ einseitigen Grenzwert? das ist der beidseitge Grenzwert oder der eindeutige Grenzwert wenn er denn existiert. Die einseitigen Grenzwerte sind die rechts bzw. linksseitigen. Dann hast du das richtig erfasst. Zu deiner zweiten Frage: Auf einem kompakten Interall [a,b] ist $\begin{eqnarray} \lim_{x \to a}f(x)=f(a) \end{eqnarray}$ , wenn f in a stetig ist, das ist analog dazu den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to a,~x>a}f(x) \end{eqnarray}$ zu betrachten, da die Funktion für x<a nicht definiert ist.
29.02.2012, 00:11	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linksseitiger, rechtsseitiger und einseitiger Grenzwert Danke Das heißt, dass ich bei meinem beispiel nur den rechtsseitigengrenzwert nehmen kann und wenn der mit f(0) übereinstimmt ist es stetig? Reicht das?
29.02.2012, 00:44	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linksseitiger, rechtsseitiger und einseitiger Grenzwert Jap, man spricht auch davon, dass die Funktion rechtsseitig stetig ist. Ein schönes und einfachesn Beispiel dafür ist die Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R_{ \geq 0} \to \mathbb R_{\geq 0},~x \to \sqrt{x} \end{eqnarray}$ . Die Funktion ist für x>0 stetig und für x=0 rechtsseitig stetig, also auf dem gesamten Def Bereich stetig.
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29.02.2012, 10:17	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linksseitiger, rechtsseitiger und einseitiger Grenzwert So "kleinigkeiten" kommen in der vorlesung oder aus dem skript nicht so wirklich raus. Danke dir
29.02.2012, 10:26	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linksseitiger, rechtsseitiger und einseitiger Grenzwert Jederzeit gerne wieder.

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