Bild und Kern einer Abbildung

29.02.2012, 11:17

lösungsfinder

Bild und Kern einer Abbildung

Meine Frage:
Ich habe folgende Abbildung gegeben:

$\begin{eqnarray*} g : \mathbb R^{4} -> \mathbb R^{2} : (a, b, c, d)^{T} |-> (a+2b, 2b+c)^{T} \end{eqnarray*}$

und soll damit den Kern und das Bild bestimmen.

Meine Ideen:
Zunächst habe ich mir die Abbildung in der Form Ax = b aufgeschrieben.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+2b \\ 2b+c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

damit hätte ich ja jetzt um den Kern zu bestimmen dieses LGS:

a + 2b = 0
2b+c = 0

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 &| 0 \\ 0 & 2 & 1 &| 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier erkennt man ja schnell, das durch umformen:
a = -2b und c = -2b also ist a = c

ist dann der Kern(f):

$\begin{eqnarray*} kern(f) = \begin{pmatrix} a+2b \\ a+2b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da ich ja nicht mehr auflösen kann, oder?

und was ich auch nicht genau weis ist, wie ich das Bild der Abbildung bestimme, ich weis zwar das ich im Prinzip f(x) = Ax brauche also die Menge der Vektoren x die die Gleichung erfüllen, aber wie komme ich darauf?

29.02.2012, 11:22

Mulder

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RE: Bild und Kern einer Abbildung

Zitat:

Original von lösungsfinder
ist dann der Kern(f):

$\begin{eqnarray*} kern(f) = \begin{pmatrix} a+2b \\ a+2b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Macht ja keinen Sinn, der Kern muss eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ sein.

Edit:

Überleg dir mit den vorgegebenen Bedingungen einfach, welche Vektoren (a,b,c,d) auf (0,0) abgebildet werden. Du bist da an sich ja wohl auf dem richtigen Weg.

29.02.2012, 11:26

lösungsfinder

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Hallo,

ich würde sagen , wenn a =0, b=0, c=0 und bei d müsste es egal sein welcher Wert angenommen wird.

Also ist dann:

$\begin{eqnarray*} kern(f) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.02.2012, 11:35

Mulder

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Bei d ist es egal, das stimmt. Aber der Rest noch nicht.

Der Vektor (0,0,0,x) liegt natürlich im Kern. Damit hast du aber noch nicht den ganzen Kern erfasst.

Überprüf mal, ob der Vektor

(-2,1,-2,x)

auch im Kern liegt. Als Beispiel...

29.02.2012, 11:47

lösungsfinder

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Ok, dann könnte ich ja sagen es muss gelten, dass:

a=c
a = -b*2

damit hätte ich jetzt glaube ich alle fälle abgedeckt?

Also währe dann der kern:

$\begin{eqnarray*} kern(f) = \begin{pmatrix} -b*2 +2b \\ b \\ 2b - b*2 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit ist mein Kern Abhängig von den Variablen x und b

29.02.2012, 11:51

Mulder

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Zitat:

Original von lösungsfinder
$\begin{eqnarray*} kern(f) = \begin{pmatrix} -b*2 +2b \\ b \\ 2b - b*2 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein! Schau mal hin, in der ersten Komponenten steht -b*2+2b. Das ergibt null, egal, was b ist. In der dritten Komponente ist es ebenso.

29.02.2012, 11:55

lösungsfinder

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Oh ich wollte auch eigentlich schreiben:

$\begin{eqnarray*} kern(f) = \begin{pmatrix} -b*4 +2b \\ b \\ 2b - b*4 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.02.2012, 12:05

Mulder

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Natürlich kann man -4b+2b noch zu -2b vereinfachen. Augenzwinkern

Aber damit hast du den Kern, ja. Alle Vektoren, die so aussehen, bilden den Kern.

Schreib's aber als Menge auf. So steht es als einzelner Vektor da.

29.02.2012, 12:18

lösungsfinder

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Zitat:

Original von Mulder
Natürlich kann man -4b+2b noch zu -2b vereinfachen. Augenzwinkern

Oh stimmt, peinlich!!! Big Laugh

Danke, aber jetzt habe ich noch das Problem das ich nicht weis, wie ich die Bilder der Abbildung bestimme?

Ich habe da irgendwie noch so etwas im Kopf wie:
Man transponiert die Matrix, wendet Gauß an und das, was nicht zur Nullzeile wird, sind die Bilder der Matrix.

Also müsste ich dann die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Transponieren mit mit Gaus Umformen zur Einheitsmatrix?

29.02.2012, 12:37

Mulder

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Ja, du kannst den Rang der Matrix bestimmen, dieser entspricht dann der Dimension des Bildes. Man kann das aber eigentlich auch so schon ablesen. Welche Spalten sind da denn linear unabhängig, bzw. wieviele der vier Spalten? Dann hast du es schon.

Alternativ kann man auch schnell zeigen, dass die Abbildung surjektiv ist.

Oder du argumentierst direkt über den Rangsatz.

Der Möglichkeiten sind viele... Augenzwinkern

29.02.2012, 12:55

lösungsfinder

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Mhh, ich würde sagen alle Spalten sind linear unabhängig. Und damit habe ich als Anzahl der linear unabhängigen Zeilen der Matrix.

Rang(Matrix) = 2

Jetzt weis ich also das die Dimension vom Bild nur 2 sein kann, aber irgendwie hat mich das jetzt nicht weiter gebracht.

29.02.2012, 13:23

Mulder

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Du weißt doch, dass die Spalten deiner Matrix ein Erzeugendensystem bilden. Also die vier Vektoren

(1,0) , (2,2) , (0,1) , (0,0)

Die Dimension des Bildes ist 2. Also brauchst du zwei linear unabhängige Vektoren, die du von den vier oben auswählen kannst, dann hast du schon eine Basis.

Aber wenn die Dimension des Bildes 2 ist, dann weißt du doch auch sofort, dass das Bild der gesamte $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist, denn dessen Dimension ist ja ebenfalls 2. Fertig.

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