Maß des Winkels berechnen in einer Funktion

29.02.2012, 15:58

gweilo

Maß des Winkels berechnen in einer Funktion

Meine Frage:
Guten Tag,

Ich habe eine Funktion f(x)= -1/8*x^3+3/4*x^2.
Es soll den Querschnitt eines Flusstales darstellen. I=[-2;4].
Bei 2 Fragen komm ich überhaupt nicht weiter:

1. Berechnen Sie das Maß des Winkels, mit dem der Hang des Tales im Punkt A in das angrenzende Gelände übergeht. Punkt A liegt bei (-2/4).
Das angrenzende Gelände wird auf beiden Seiten durch die gleichung y=4 beschrieben.

2. Nun soll auf dem angrenzenden Gelände im Punkt mit der x-Koordinate 4 ein Mast errichtet werden. Vom tiefsten Punkt des Tales soll ein Seil zur Spitze dieses Mastes gespannt werden. Welche Höhe muss der Mast gerade überschreiten, damit das straff gespannte Seil den Hang nicht mehr berührt?

Meine Ideen:
Bei 1. hab ich gar keine Idee. , bzw. welchen Winkel genau gemeint ist.

Bei 2. würde ich eine Ursprungsgerade aufstellen, aber wie komm ich auf den Berührungspunkt zur Funktion f(x)=-1/8..., wenn ich die Steigung nicht weiß? Wenn ich den ja wüsste, und ich die Gleichung hätte, könnte ich ja den y-Wert der Ursprungsgerade bei x=4 ausrechnen, und weiß somit ab der Höhe berührt das Seil den Hang nicht.

Ich hoffe, man kann mir helfen.

mfg

29.02.2012, 16:26

Christian_P

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RE: Maß des Winkels berechnen in einer Funktion

Zitat:

Original von gweilo
1. Berechnen Sie das Maß des Winkels, mit dem der Hang des Tales im Punkt A in das angrenzende Gelände übergeht.
Punkt A liegt bei (-2/4). Das angrenzende Gelände wird auf beiden Seiten durch die Gleichung y=4 beschrieben.

Daraus geht eindeutig hervor, welcher Winkel gemeint ist.

Grüße

29.02.2012, 16:59

gweilo

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Ich habe bei Aufgabe 1 die erste Ableitung gebildet, Steigung ausgerechnet und kam auf -4,5. Gegenkathete/Ankathete= 12, 52°. Danach mit 45° addiert, also 57,52 grad. Stimmt die Lösung?

29.02.2012, 17:55

Christian_P

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Den Anstieg an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ hast du richtig berechnet.

Der Winkel müsste der zwischen der Tangente an der Kurve bei $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ und der Kurve $\begin{eqnarray*} y=4 \end{eqnarray*}$ sein (bzw. der x-Achse [Stufenwinkel])

Der positive Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ muss laut Plot $\begin{eqnarray*} 90^\circ < \alpha < 180^\circ \end{eqnarray*}$ sein, also zwischen $\begin{eqnarray*} 90^\circ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 180^\circ \end{eqnarray*}$

Grüße

29.02.2012, 18:21

gweilo

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Ich hab glaub ich falsch addiert, statt 45° müsste ich 90° (1/4 vom Kreis beträgt ja 90°)nehmen, also 90° + 12,52° = 102,52 °! Ist das korrekt?

Bei Aufgabe 2 habe ich Zeichnerisch herausgefunden, das die Tangente den Graph bei x=3 berührt. Ich habe die 3 somit in die erste Ableitung eingesetzt, und hab als Steigung M=1,125, also f(x)=1,125x (Tangentengleichung). Danach will ich ja wissen wo der Y-Wert bei 4 ist. 4 in Tangentengleichung und bekomme raus, 4,5. Da der Hochpunkt bei 4/4 ist, muss der Mast also größer als 0,5 sein, damit das Seil den Hang nicht berührt. Ist das so korrekt?

Wie komme ich ohne Zeichnung auf den Wert x=3? Rein durch Berechnung des Mittelwertes, zählt das?

Danke an Christian für die Hilfe.

01.03.2012, 08:49

Christian_P

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Der Berührungspunkt bei $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ scheint "intuitiv" richtig zu sein. Und deine Überlegungen sind korrekt. Betrachten wir den ersten Teil mal genauer, denn eine zeichnerische Lösung ist gut, aber nicht handfest genug.

Wir sind uns darüber einig, dass das Seil mit $\begin{eqnarray*} s(x)=ax \end{eqnarray*}$ dargestellt werden muss, da $\begin{eqnarray*} P(0;0) \end{eqnarray*}$ ein Punkt des Graphen ist, fällt das Absolutglied weg.

Die beiden Graphen $\begin{eqnarray*} f(x)= -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s(x)=ax \end{eqnarray*}$ sollen nur einen Punkt außer $\begin{eqnarray*} P(0;y) \end{eqnarray*}$ gemeinsam haben. Das Seil soll ja am Hang "anliegen".

Das läuft darauf hinaus, dass wir die beiden Graphen gleichsetzten müssen, und erhalten:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2=ax \quad \quad 0=-\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2-ax \quad \quad 0=x\left(-\frac{1}{8}x^2+\frac{3}{4}x-a\right) \end{eqnarray*}$

Diese quadratische Gleichung darf nur eine einzige Lösung haben.

$\begin{eqnarray*} 0=-\frac{1}{8}x^2+\frac{3}{4}x-a \end{eqnarray*}$

Für welches $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gibt es in dieser Gleichung nur eine Lösung und wie lautet diese Lösung?

Grüße

01.03.2012, 10:59

gweilo

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0= -1/8x^2+3/4*x-a | *(-8)

0= x^2-6x+8a

PQ-Formel:

6/2 +- sqrt((6/2)²-8*a)

verwirrt

damit ich nur eine Lösung raubekäme, müsste ich ich für a=9/8 einfügen.

01.03.2012, 11:13

Christian_P

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ja richtig! Freude

Die Lösung der Gleichung ist

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=3\pm\sqrt{9-8a} \end{eqnarray*}$

Eine Lösung gibt es genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{9-8a}=0 \end{eqnarray*}$ ist (die Diskriminante als verschwindet)

Und was kommt dann für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ heraus, wenn das oben gilt?

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} s(x) \end{eqnarray*}$ ?

01.03.2012, 11:34

gweilo

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x=3
aber woher weiß ich das es nur eine Lösung nur geben darf? Weil es nur einen Schnittpunkt gibt?
a war ja die Steigung die wir gesucht haben. Das hab ich jetzt verstanden.

Danke Christian

01.03.2012, 11:38

Christian_P

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super!

bitte bitte smile

01.03.2012, 12:02

Christian_P

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Ich habs aus dem Plot abgelesen:

Betrachten wir nur den Intervall [0;6] (zur Übersichtlichkeit), dann kann man drei Fälle unterscheiden.

- keinen Schnittpunkt
- genau einen Schnittpunkt (Berührungspunkt)
- zwei Scnnittpunkte

Dem entsprechende Lösungen kann man von der Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)-s(x)=0 \end{eqnarray*}$ erwarten. Wir wollen aber nur den einen Fall des Berührungspunktes haben, also genau eine Lösung "konstruieren".

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