Gleichzeitig Quotientenregel und Produktregel

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Mathe <.< Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichzeitig Quotientenregel und Produktregel
Meine Frage:
Die zweifach abzuleitende Aufgabe lautet:

(x-2)² (x+3)
f (x) = ------------
(x+2)²



Meine Ideen:
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Sollst du 2mal Ableiten??

Oder lautet die Funktion



Ein bisschen mehr mühe beim Fragestellen darf jawohl verlangt werden.
So ist es schwer dir zu helfen!
 
 
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, da ist wohl einiges durcheinander geraten. :/
Ja, die Funktion soll wie folgt lauten:





Edit:
Kurze Frage: Mit welchem Programm schreibe ich solche Formeln wie du es getan hast?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das musst du über die Quotientenregel ableiten, das ist richtig.

Rechne am besten den Zähler so weit wie möglich aus und fasse zusammen.
Dann fällt das ableiten leichter.
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

D.h. ich soll nun das Binom auflösen und dann mit der zweiten Klammer ausmultiplizieren? smile

Insofern du das meintest:

(x-2)² = x² -4x + 4

Nun muss ich das noch mit (x+3) ausmultiplizieren.
Da kommt dann in sortierter Form folgendes raus:

x³-x²-8x+12
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige für den doppelten Beitrag. :X

Hab nun etwas weitergerechnet und schreibe das hier mal kurz:

x³-x²-8x+12 / (x+2)² | Quotientenregel


3x²-2x-8* (x+2)² - (x³-x²-8x+12) * 2(x+2)* 1
--------------------------------------------------------------
(x+2)^4


=
3x²-2x-8* (x+2) - (x³-x²-8x+12) * 2
--------------------------------------------------
(x+2)³


=
x³+6x²+4x-40
-------------------
(x+2)³


Soweit richtig? Andernfalls bitte ich um Hinweise bezüglich meines Fehlers smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig. Freude

Sauber. smile
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

*Gedankenblitz gehabt* Big Laugh

Naja, nun geht's an die zweite Ableitung.
Einfach drauf los, oder magste mir bereits einen Tipp geben worauf ich achten sollte, bzw. wie ich am geschicktesten vorgehen könnte?

Müssen zu dieser Funktion eine Funktionsunersuchung anfertigen.
Diesbezüglich bin ich mir bei der Symmetrie nicht so sicher.
Die Möglichkeit, dass die Funktion achsensymmetrisch ist, schließ ich aus.
Ob die Funktion nun Punktsymmetrisch ist, weiß ich leider nicht. Gehe aber davon aus, dass sie es ist. :S

Könntest du mir da "nochmal" helfen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja kann ich.
Bei der 2ten Ableitung kannst du "einfach drauf los" rechnen. Musst nur geschickt umformen.

Um die Symmetrie zu untersuchen musst du gucken was passiert wenn du für x ein
-x einsetzt.

f(-x)=f(x)----> Achsensymmetrie

f(-x)=-f(x)-------> Punktsymmetrie
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Da hab ich echt Probleme mit..
Weiß gar nicht wie ich vorgehen soll.
Natürlich, ich kann die Sachen einsetzen, aber mir persönlich wird dadurch nichts ersichtlich.

Stimmt es denn nicht, dass die Funktion punktsymmetrisch ist?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit f(-x)=f(x) hast du natürlich recht.
Ich habe mich bloß vertippt.


Also:

Du setzt für jedes x ein -x ein.




Kannst du jetzt ein -1 ausklammern um Punktsymmetrie nachzuweisen bzw. ist es das selbe wie f(x)??
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist nicht punktsymm.!

Gut, wenn die Symmetrie, welche, wie wir nun wissen, nicht vorliegt, geklärt wurde, steht nun im Folgenden das Verhalten am Def.-Rand.

Dort bin ich schier überfordert :S
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja es liegt keine Symmetrie vor. Das ist richtig.

Hast du nun auch verstanden wieso es nicht so ist, oder ist es geraten?
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich kann ja einsetzen. ;-)
Wenn ich nun, wie du gesagt hast, -1 ausklammer, ähnelt die dadurch erhaltene Funktion meiner nicht.
Das trifft dann auch auf die Achsensymmetrie zu.

Hab's also verstanden
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn du -x einsetzt und die Minuszeichen alle Wegfallen z.B. weil du immer das x quadrierst o.ä. ist es Achsensymmetrisch und wenn du eine -1 ausklammern kannst und es dann f(x) ist dann ist es punktsymmetrisch.

Für gewöhnlich werden die meisten gebrochen-rationalen-Funktionen die du bekommst keine Symmetrie aufweisen. (Verlass dich aber lieber nicht drauf, nachweisen das es so ist musst du so wieso)

Wie sieht deine 2te Ableitung aus?
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

puh...
Das sind komisch aus. :S

f''(x)=

16x+128
------------
(x+2)³


Wenn die falsch ist, werde ich einfach meine Rechnung komplett schreiben.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist fast richtig.

Dein Zähler ist richtig. Freude
Beim Nenner ist dir wahrscheinlich beim kürzen ein Fehler unterlaufen.
Es muss hoch 4 sein.
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Hm.. versteh ich nicht.

v= (x+2)³
laut Quotientenregel muss ich das nun ² nehmen.
Sprich: ((x+2)³)²
Und das ist doch (x+2)^5, oder?

Im Folgenden kürze ich im Zähler zwei (x+2) weg, wodurch ich im Nenner den Exponenten um zwei verringern muss, oder?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Da liegt der Fehler.
Du wendest die Potenzgesetze falsch an.

Potenzen werden Potenziert indem man die Exponenten multipliziert.

somit ist
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Hab's mir gerade eben fast gedacht.
Naja, dann weiß ich nun bescheid.
Vielen Dank bis hier hin schonmal.


Muss nun noch das Verhalten am Def.-Rand bestimmen.
Wie mache ich das?

Na klar, indem ich einen lim bilde, aber da hört's schon bei mir auf. :S
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ersteinmal:

Wo ist die Definitionslücke?
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

D = R \ {-2}

Dort liegt eine Polstelle, falls man das so nennt :X
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Freude

Jetzt guckst du was für x-Werte passiert die sehr nah an der -2 dran sind.

Setze mal für x -1,9 ein und dann -1,999 oder ähnliches.

Das selbe machst du für -2.1 und -2.001 oder ähnliches.

Dann fällt dir etwas auf und du kannst so rechnerisch das Verhalten im Unendlichem bestimmen.
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es dann nicht insgesamt 4 Definitionsränder, also 4 Seiten von denen ich mich der Polstelle nähern kann?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso 4?

Du kannst dich von links oder rechts an die Definitionslücke annähern.
Das sind zwei Möglichkeiten. smile
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mich der Polstelle von oben nach unten nähere, also das x immer dichter an die -2 ranfahre, werden die Werte immer größer.
Näher ich mich der Polstelle von unten nach oben, werden die Werte ebenfalls immer größer.

Ich meinte damit, dass ich ja noch x-> unendlich und minus unendlich wandern lassen muss.
Dadurch erhalte ich doch 4, oder?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Da bringst du gerade zwei Begriffe durch einander.

Wenn du x gegen gehen lässt erhälst du die Asymptote.

Das was wir gerade bestimmt haben ist das Verhalten an der Definitionslücke.
Das ist nicht das selbe. smile

Und wie ist nun das Verhalten an der Definitionslücke?
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Komisch, haben bei einer anderen Aufgabe, bei der man nicht Produkt- und Quotientenregel zusammen anwenden muss, unter "Verhalten am Def.-Rand" das x auch gegen unendlich und minus unendlich fahren lassen.

An der Definitionslücke geht's Richtung unendlich.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Und zwar für beide Richtungen. Freude

Wieso ihr das x für das Verhalten am Def-Rand ebenfalls gegen plus/minus unendlich habt fahren lassen, kann ich nicht beurteilen.
Vielleicht habt ihr auch nur Asymptote und Def-Rand direkt hintereinander bestimmt und du würfelst das gerade ein wenig durcheinander.
Für das verhalten an der Definitionslücke guckst du was passiert für Werte die sehr nah daran liegen für links sowie rechts, also das was du gerade getan hast.
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Gesucht war das Verhalten am Def.-Rand.
Also, ich hoffe, dass damit dasselbe gemeint ist, weil wir, so wie du es formuliert hast, uns nur der Def.-Lücke genähert haben, damit wir das Verhalten dort bestimmen konnten.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt wie gesagt, ich kann es von hier nicht beurteilen.

Weitere Frage?


Edit: Zu deinem Edit, ja wir haben nur das Verhalten an der Def-Lücke bestimmt. Für die Asymptote muss du das x gegen +-undendlich gehen lassen.
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh
Okay, dann machen wir das direkt auch, also x gegen (minus) unendlich wandern lassen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooo.... jetzt verstehe ich wie du das meinst.
Mit Def-Rand, ist die Asymptote gemeint.
Def-Lücke meint das Verhalten an der Polstelle.

Ich hoffe ich habe dich jetzt nicht verwirrt.
Ich hatte dich gerade falsch verstanden.
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du hattest trz. Recht.
Haben uns bei der anderen von mir beschriebenen Aufgabe auch der Polstelle von unten und von oben genähert.
Der Lehrer hat demnach Asymptote und def.-Rand einfach mal zsm. gemacht..
Naja, als würde er sich nicht schon kompliziert genug fassen >.<

Was passiert nun, wenn x ganz groß wird?
Dann haben wir im Zähler etwas großes und im Nenner auch :S
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Asymptote musst du eine Polynomdivison mit Rest durchführen.
Das so als Tipp am Rande.
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Asymptote?
Muss doch lediglich die Limites (=Grenzwerte) x --> minus unendlich; x --> -2 von links (, dh. mit größer werdendem x); x --> -2 von rechts (; dh. mit kleiner werdendem x) und x --> unendlich bilden. :S
Nun bin ich verwirrt..
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie sieht das bei dir aus??

Welche Asymptoten erhältst du?
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

'schuldige, aber ich bin gerade etwas überfordert.
Er sagte zu uns, dass er erst nächste Stunde etwas zu den Asymptoten sagen wird und dabei haben wir die bereits berechnet, oder wie? oO
Ich muss doch nur noch x ganz groß und einmal ganz klein machen, oder? (gegen unendlich und minus unendlich fahren)
Dabei hab ich meine Probleme, weiß da nicht weiter :S
Einsetzen ist keine Sache, aber ich weiß nicht, was es mir sagen/ zeigen soll..

Bspw.
x-> unendlich

f(x)=(x-2)² (x+3) / (x+2)²

Da hab ich nun etwas ganz großes im Zähler und etwas ganz größes im Nenner.
Mehr ist da leider nicht ersichtlich für mich.. wohin das nun strebt kann ich leider nicht sagen :S
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du auch so nicht.
Hier brauchst du die Polynomdivison mit Rest.
Darduch das du geschrieben hast, dass euer Lehrer da nächste Stunde zu den Asymptoten was sagen möchte, schließe ich darauf, das ihr das noch nicht gemacht habt.

Deshalb würde ich vorschlagen wir lassen es erstmal weg.

Hier gibt es keine waagerechte Asymptote, sondern eine schiefe.
ErWillEsWissen Auf diesen Beitrag antworten »

Wohin geht's denn, wenn ich x-> unendlich wandern lasse?
Strebt das gegen - unendlich, unendlich, oder null? Big Laugh
Das ist eig. nur die Frage.
Keine Asymptoten Tränen
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