Ableitung von Logarithmusfunktion

29.02.2012, 18:28

looser12

Ableitung von Logarithmusfunktion

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem bei der Ableitung folgender Funktion:
$\begin{eqnarray*} ft(x)=ln\frac{6-x}{tx} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand helfen?

Meine Ideen:
Meine Idee:
ft(x)= ln(6-x)- ln(tx)

$\begin{eqnarray*} ft'(x)=\frac{-1}{6-x} -\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Das kann natürlich richtig sein, aber wie kann man es als eine Funktion ableiten? Mit diesen Teilen ist es schwierig dann Extrema und weitere Ableitungen zu bilden...

29.02.2012, 18:31

klauss

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RE: Ableitung von Logarithmusfunktion
Ableitung der äußeren Funktion (ln) mal Ableitung der inneren Funktion (z. B. Quotientenregel).
Es müßte wohl heißen: f(x,t)

29.02.2012, 18:45

looser12

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RE: Ableitung von Logarithmusfunktion
Ich glaube,das ist nicht ganz richtig.
Eigentlich sollte die Ableitung lauten:

$\begin{eqnarray*} ft(x)=\frac{6}{(x-6)x} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie man dadrauf kommt, aber wahrscheinlich nicht mit der Quotientenregel...
Das sieht man auch schon an der Ableitung, die ich gemacht habe, die jedoch aus zwei Teilen besteht

29.02.2012, 18:47

klauss

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RE: Ableitung von Logarithmusfunktion
Das stimmt sicher nicht, denn der Parameter t müßte in der Ableitung schon irgendwo erhalten bleiben.

29.02.2012, 18:52

looser12

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RE: Ableitung von Logarithmusfunktion
Na dann:
Meine 1. Idee:
$\begin{eqnarray*} ft(x)= ln(6-x)- ln(tx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-1}{6-x} - \frac{t}{tx} \end{eqnarray*}$

Das müsste richtig sein und somit sieht man, dass t wegfällt

Anwendung deiner Idee ( Quotientenregel)
$\begin{eqnarray*} ft'(x)=\frac{6t}{(tx)^2} \end{eqnarray*}$

Anmerkung: u= 6-x
u'= -1
v= tx
v'=t

29.02.2012, 18:57

HAL 9000

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RE: Ableitung von Logarithmusfunktion

Zitat:

Original von klauss
Das stimmt sicher nicht, denn der Parameter t müßte in der Ableitung schon irgendwo erhalten bleiben.

Da irrst du dich: In der Originalfunktion wirkt er nur als additive Konstante, die beim Differenzieren verschwindet:

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = \ln(6-x) - \ln(tx) = \ln(6-x) - \ln(x) - \ln(t) \end{eqnarray*}$

@looser12

Es IST

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{6-x} - \frac{1}{x} = \frac{x-(x-6)}{(x-6)x} = \frac{6}{(x-6)x} \end{eqnarray*}$ ,

es sind also beide Formeln als Ableitung richtig. Augenzwinkern

29.02.2012, 19:00

looser12

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RE: Ableitung von Logarithmusfunktion
wie kommt man dann auf die richtige Ableitung???

29.02.2012, 19:01

HAL 9000

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Es ist alles in Ordnung - du siehst Fehler, wo keine sind. smile

29.02.2012, 19:02

klauss

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RE: Ableitung von Logarithmusfunktion
Ah ich seh grad, er kürzt sich raus. Pardon, selber gründlich nachrechnen hilft ...

29.02.2012, 19:04

looseer12

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RE: Ableitung von Logarithmusfunktion

Zitat:

Original von HAL 9000
[quote]Original von klauss
@looser12

Es IST

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{6-x} - \frac{1}{x} = \frac{x-(x-6)}{(x-6)x} = \frac{6}{(x-6)x} \end{eqnarray*}$ ,

es sind also beide Formeln als Ableitung richtig. Augenzwinkern

Wie kommt man jetzt aber auf x-(x-6) im Zähler? Kann mir jemand den Weg eerklären?

29.02.2012, 19:07

HAL 9000

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Terme auf einen gemeinsamen Bruchstrich bringen - davon hast du doch schon mal gehört?

Vielleicht fehlt dir ja auch nur der "wahnsinnig komplizierte" Zwischenschritt

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{6-x} = \frac{1}{-(6-x)} = \frac{1}{x-6} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

29.02.2012, 19:15

looser12

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Oh ja, ich habe jetzt alles man nachgerechnet und ich kann es nachvollziehen.
Vielen Dank smile

29.02.2012, 19:47

looser12

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Tja, jetzt bin ich wieder stecken geblieben- nämlich bei der zweiten Ableitung:
Man muss die Quotientenregel anwenden, aber ich kriege Müll raus

u=6
u'= ?
v=6x-x^2
v'= 6- 2x

Wie geht das dann, wenn ich nicht bei u' habe?

29.02.2012, 21:13

looser12

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29.02.2012, 21:46

Dangalf

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Da HAL9000 nicht antwortete: überprüfe Dein u, da sollte -6 stehen. Jedenfalls ist u' = 0, Ableitung einer Konstanten ist immer 0. Quotientenregel ist auch nicht unbedingt nötig, wenn Du die von Dir selbst errechnete Darstellung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-6} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ verwendest und eventuell als $\begin{eqnarray*} (x-6)^{-1} - x^{-1} \end{eqnarray*}$ schreibst.

29.02.2012, 22:34

looser12

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Danke für deine Antwort.
Ich schreibe hier mal kurz meine Ableitung
Ich habe es mit der Kettenregel abgeleitet. Und es stimmt sollte doch -6 im Zähler stehen.
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-1(x-6)*(1)+ 1x^-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-1x+6+\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Dazu fällt mir eine Frage ein: Ich bauche die Ableitung um Wendestellen der Funktion auszurechnen. Es wäre leichter, wenn ich einen Bruch hätte, denn dann müsste ich den Zähler=0 setzen. Muss ich in diesem Fall das Ganze =0 setzen?

Meine zweite Frage: Wenn also u=-6 ist, und u'=0 heißt das also, dass wenn ich die Quotientenregel anwende ich 0 * 6x-x^2 multiplizireren muss?

29.02.2012, 22:59

Dangalf

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Kettenregel ist OK, du hast aber beim ersten Term vergessen, den Exponenten -1 um eins runterzuzählen,
$\begin{eqnarray*} f''(x) = - (x-6)^{-2} + x^{-2} \end{eqnarray*}$

Um die Wendepunkte zu bestimmen, musst Du das in der Tat gleich 0 setzen.

Was die Quotientenregel betrifft, so gilt, falls der Zähler u konstant und u' daher 0 ist:
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{- uv'}{v^2} = u \left(v^{-1}\right)' \end{eqnarray*}$

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