Hauptsatz

29.02.2012, 21:07

brauche Hilfe

Hauptsatz

Meine Frage:
Guten Abend, ich verstehe diesen Ausdruck nicht ganz aus dem Hauptsatz der Analysis:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{x_0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Was bedeutet der Ausdruck rechts vom Istgleichzeichen? Warum sind die Grenzen 2 Variablen?

Bitte helft mir unglücklich

01.03.2012, 12:12

klarsoweit

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RE: Hauptsatz
Das x_0 ist keine Variable, sondern irgendeine nicht näher spezifizierte Konstante. Lediglich das x ist variabel.

01.03.2012, 22:40

brauche Hilfe

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RE: Hauptsatz
Ok gut. Ich verstehs aber immer noch nicht ganz.

Müsste es dann nicht $\begin{eqnarray*} F(x)-F(x_0)=\int_{x_0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ sein?

01.03.2012, 23:12

SusiQuad

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RE: Hauptsatz
Genauso ist das und dann ist $\begin{eqnarray*} x \mapsto F(x)-F(x_0) \end{eqnarray*}$ eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ,die man auf Diff.barkeit untersuchen kann. - Und dann gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} \longrightarrow f(x_0) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} {x \mapsto x_0} \end{eqnarray*}$ ,kurz: $\begin{eqnarray*} F^{\prime}(x_0)=f(x_0) \end{eqnarray*}$

01.03.2012, 23:18

galoisseinbruder

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Könntet ihr mir verraten wie bitte $\begin{eqnarray*} F(x_o) \end{eqnarray*}$ definiert ist?
Ich kenn den HDI nur in der Form dass die Stammfunktion zu f so

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{x_0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

definiert wird für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x_0 \in [a,b] \end{eqnarray*}$

01.03.2012, 23:23

SusiQuad

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hmm, ... $\begin{eqnarray*} F(x_0) = \int_{x_0}^{x_0} f(t)dt = 0 \end{eqnarray*}$ ?

01.03.2012, 23:32

galoisseinbruder

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Und damit wärs überflüssig es hinzuschreiben.
Die Definition $\begin{eqnarray*} F(x):=\int_{x_0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ zeigt die Existenz einer Stammfunktion von f.
Die Formel $\begin{eqnarray*} F(b)-F(a) =\int_a^b f(x)dx \end{eqnarray*}$ gilt für jede Stammfunktion F von f.

01.03.2012, 23:43

Karamuto

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Eigentlich nennt sich das Teil der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung und sagt nur aus das zu jeder integrierbaren Funktion f eine Stammfunktion F existiert s.d.

F' = f

mehr sagt der Satz eigentlich ja nicht aus

kann man auch so schreiben : $\begin{eqnarray*} F(t):=\int_{}^{}f(t)\,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

die Grenzen interessieren in diesem falle erstmal nicht

02.03.2012, 00:56

SusiQuad

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Zitat:

Und damit wärs überflüssig es hinzuschreiben.

Exakt.

IMHO eine Hommage an den Differenzenquot. (s. Post 23:12), damit es früher *klick* macht bzgl. $\begin{eqnarray*} F^{\prime}(x_0)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ .

02.03.2012, 01:29

SusiQuad

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Nachtrag:
Und würde man den DifferenzenQuot. noch redundanter schreiben per
$\begin{eqnarray*} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \frac{F(x){\color{blue}+ C\color{black}}-\left( F(x_0) {\color{blue}+ C\color{black}} \right) }{x-x_0} \end{eqnarray*}$ ,
so wäre auch die leidige $\begin{eqnarray*} {\color{blue}+ C\color{black}} \end{eqnarray*}$ -Diskussion miterledigt, da man erkennt, dass wenn $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ Stammfunktion, dann auch $\begin{eqnarray*} F +c \end{eqnarray*}$ .
Im Plural (= Stammfunktionen) hat man Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray*} [F] \end{eqnarray*}$ bzgl. ~ mit:
$\begin{eqnarray*} F \sim G \colon \iff G-F = c =\tiny\text{const} \end{eqnarray*}$

2 ct.

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