Konvergenz von Reihen: Verständnisprobleme

29.02.2012, 22:09

Pi*z*z*a

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Konvergenz von Reihen: Verständnisprobleme

Hallo zusammen,
ich habe ein paar Fragen zu Reihen.. ich bekomm da einfach keinen "Hebel" ums ma so auszudrücken.
Ich habe inzwischen den einfachen Teil verstanden, bzw akzeptiert, aber es hapert trotzdem noch smile

smile

Ich habe hier ein paar Aufgaben von unsern Übungsblättern an denen ich das gerne Abarbeiten würde.

1. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^{k}}{k} \end{eqnarray*}$

da ist die Frage zu für welche x das konvergiert.

Ist das das gleiche wie der Konvergenzradius?

2. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^{k}}{k²} \end{eqnarray*}$

auch hier wieder die Frage für welche x das konvergiert.

das sind doch quasi beides "aus potenzreihen und harmonischen reihen zusammengesetzte" Reihen? bei ner Reinen Potenzreihe hätte ich gesagt x<1 konvergiert... aber hier weiss ich nicht weiter

3. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3^{k/2}}{k} * x^{k} \end{eqnarray*}$

Hier soll jetzt der Konvergenzradius bestimmt werden.

Kann ich da Cahuchy Hadamard verwenden oder wie?

Würde mich freun wenns mir jmd anhand der Beispiele erklären könnte, dann könnte ich mich ma damit an die nächsten stzen uns selber rechnen.

Grüße, Frank

29.02.2012, 22:33

SusiQuad

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RE: Konvergenz von Reihen: Verständnisprobleme
Lies etwas. - Geeignet wäre die Def. über Konv.Radius. Sogar googlen kann man das. - Dann trag ein paar Ideen vor (Quot./ Wurzel-Kriterium).

Was hälst Du davon ? smile

smile

29.02.2012, 23:19

Gilbert0

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Erstmal solltest du wissen, wie man den Konvergenzradius R ermittelt. Das geht mithilfe des Wurzel- oder Quotientenkriteriums. Wenn du R ermittelt hast, weißt du schon mal, dass deine Potenzreihe für alle $\begin{eqnarray*} |x| < R \end{eqnarray*}$ konvergiert. Wichtig ist nun, dass du noch die Randwerte überprüfst, also die Reihe für $\begin{eqnarray*} |x| = R \end{eqnarray*}$ hinsichtlich des Konvergenzverhaltens untersuchst (meistens mithilfe des Leibniz-, Majoranten- oder Minoratenkriteriums). Dann weißt du, für welche x deine Potenzreihe konvergiert.

29.02.2012, 23:34

Pi*z*z*a

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Das is zb ein punkt an dem ich hänge:

Ich habe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das habe ich anfangs mithilfe des Quotientenkriteriums auf konvergenz geprüft... was relativ zweckfrei ist wie sich dann ehrausgestellt hat.

Hab das dann mit dem Integralkriterium gemacht.

Aber wenn ich hier mit dem Qutientenkriterium nicht durchkomme... wie kann ich dann da den Radius mit berechnen?

@ Susi:
Ich habe schon ein bisschen was dazu gelesen und eine didaktisch unglaublich wertvolle Mathevorlesung mit Epsilon- Kriterium gehört...
Ich hatte gehöfft ich bekomm quasi eins aufgedröselt und kann mich dann daran entlanghangeln wärend ich die Definitionen verdau smile

smile

@ Gilbert genau da haperts... ich bekomms jez meistens hin zu sagen konvergiert oder konvergiert nicht... aber festzulegen wo es konvergiert da weiss ich dann nicht welche regel ich anwenden darf... da ja zum bsp das quotientenkriterium bei der harmonischen Reihe ins leere läuft

Gruß

29.02.2012, 23:42

Gilbert0

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Ja, es gibt natürlich Reihen, bei denen man mit dem Wurzel- und Quotientenkriterium keine Aussagen machen kann. Aber ich denke, dass ihr sicherlich in der Vorlesung auf eine andere Art und Weise gezeigt habt, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n^\alpha } \end{eqnarray*}$ genau für $\begin{eqnarray*} \alpha > 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Somit kannst du das für deine späteren Berechnungen als gegeben betrachten.

29.02.2012, 23:48

Pi*z*z*a

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konvergiert das nicht für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n^{\alpha }} \end{eqnarray*}$ alpha größer 1? das andere is doch die harmonische reihe die Divergiert?

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29.02.2012, 23:51

Gilbert0

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Oh, klar. War ein Tippfehler.

29.02.2012, 23:56

Pi*z*z*a

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ok

smile

vlt mach ich mir acuh zuviele gedanken aber zb wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{x^{n}}{n^{\alpha }} \end{eqnarray*}$ gegeben ist... dann ist es ja je nach alpha unten ne konvergente bzw divergente reihe. Der zähler könnte aber zb( in dem fall für x > 1 wenn ich das richtig seh?) schneller groß werden als der nenner klein... egal was für ein alpha... und ja die definition dürfen wir verwenden aber wir müssen begründen warum sie hier zu verwenden ist... und da hab ich keine ahnung... ich seh.. ok das konvergiert... dann kann ichs anwenden? oder wie ist das smile

smile

danke für die geduld^^

01.03.2012, 00:04

Gilbert0

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Mithilfe der harmonischen Reihe kannst du andere Reihen sehr gut nach oben oder nach unten abschätzen und so das Majoranten- bzw. Minorantenkriterium anwenden. Bei deiner Potenzreihe empfehle ich dir nach dem Kochrezept oben vorzugehen, das ich zwei oder drei Beträge zuvor beschrieben hatte. Und eine Empfehlung wäre vielleicht noch, dir vielleicht ein Buch zu besorgen und darin zu lesen, um dir so eine anständige Basis aufzubauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.03.2012, 13:28

Pi*z*z*a

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OK Leute... ich hab mir jetzt einige Beispielrechnungen angeschaut, war in der UB und hab ein Buch dazu (allerdings nicht mit extrakapitel zu Reihen sondern nur Taylor Reihen und darin ein exkurs aber das scheint die selben Regeln zu haben...)

Ein Beispiel an dem ich hänge, nicht weil ichs nicht berechnen kann sondern weil ich nicht raff warum das geht(anscheinend so trivial das dazu nichts gesagt wird):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{x^{n}}{\sqrt{n+1} } \end{eqnarray*}$

das ganzer wird zerlegt in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n+1}} * x^{n} \end{eqnarray*}$

soweit is klar das ich einen Bruch auf diese Art zerlegen darf.
aber WARUM kann ich jetzt allein durch bestimmen eines Grenzwertes von
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ sagen das Konvergiert? Ohne das X^n zu berücksichtigen das ja je nach x viel dominanter ist??

Gruß Frank

01.03.2012, 13:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von Pi*z*z*a
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{x^{n}}{\sqrt{n+1} } \end{eqnarray*}$

Vermutlich meinst du $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{x^k}{\sqrt{k+1} } \end{eqnarray*}$ .
Einfach das Quotientenkriterium anwenden. smile

smile

01.03.2012, 13:44

SusiQuad

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Es gibt ein Standard-Buch was Reihen angeht. - Sogar online.

Knopp, Theorie der unendlichen Reihen, Springer-Verlag

Speziell Kapitel §18 - Konv.Radius dürfte Dich interessieren.

01.03.2012, 13:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pi*z*z*a
aber WARUM kann ich jetzt allein durch bestimmen eines Grenzwertes von
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ sagen das Konvergiert? Ohne das X^n zu berücksichtigen das ja je nach x viel dominanter ist??

Wer sagt denn, dass du das "kannst"? Stimmt natürlich nicht.

Allerdings kommt man bei dieser deiner Potenzreihe leicht auf den Konvergenzradius R=1, so dass die genannte Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} } \end{eqnarray*}$

nur Aufschluss gibt über das Konvergenzverhalten am rechten Randpunkt des Konvergenzintervalls $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ .

01.03.2012, 14:20

Pi*z*z*a

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@ klarsoweit
natürlich du hast recht da bin ich mit den indizees verrutscht.

Habe das qutientenkriterium angewand und dann sieht das ganze so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{k+1}}{\sqrt{k+2} } * \frac{\sqrt{k+1} }{x^{k}} \end{eqnarray*}$

was sich kürzen lässt zu
$\begin{eqnarray*} x* \sqrt{ \frac{k+1}{k+2} } \end{eqnarray*}$

daraus wiederum

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty }\left( x * \sqrt{ \frac{k+1}{k+2} }\right) = x \end{eqnarray*}$

Laut unsrer Formel ist R der Kehrwert vom Grenzwert ergo:

$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\lim_{k \to \infty } | a_{n}| } \end{eqnarray*}$

heisst das jez dass mein $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist?

Grüße

01.03.2012, 14:54

HAL 9000

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Fehler en masse

Zitat:

Original von Pi*z*z*a
$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\lim_{k \to \infty } | a_{n}| } \end{eqnarray*}$

heisst das jez dass mein $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist?

Erstens lautet die Formel

$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\lim_{k \to \infty } \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|} \end{eqnarray*}$ .

Zweitens stimmt sie nur, sofern der dort auftretende Grenzwert existiert (inklusive aber des "uneigentlichen" Grenzwertes $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ).

Und drittens bezieht sich diese Konvergenzradius-Formel nicht auf die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ (so hast du sie aber angewendet), sondern auf die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n \end{eqnarray*}$ .

Es ist also nicht mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{x^{n}}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ zu rechnen, sondern mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ .

Nicht gedanken- und bedenkenlos fertige Formeln anwenden, sondern sorgfältig auf den Kontext achten!!!

01.03.2012, 15:11

klarsoweit

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Man kann auch schon was mit diesem Ergebnis anfangen:

Zitat:

Original von Pi*z*z*a
daraus wiederum

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty }\left( x * \sqrt{ \frac{k+1}{k+2} }\right) = x \end{eqnarray*}$

Wenn man noch den Betrag nimmt, wie es das Quotientenkriterium verlangt, dann muß laut Kriterium für die Konvergenz |x| <= q < 1 sein. Das führt dann auch direkt auf den Konvergenzradius.

01.03.2012, 15:16

Pi*z*z*a

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@Hal9000
und warum darf ich das x^n da quasi weglassen? das verändert doch je nach x<1; x>1 das komplette verhalten?

Wenn ich das X^n da weglasse macht das meine Rechnung ja leichter, nicht schwieriger

// ok das hat mich jetzt schonmal weitergebracht

was mich jetzt noch ein wenig verwirrt (gewaltig)

gibt es, bzw was ist der Unterschied zwischen dem Konvergenzradius und "für welche x konvergiert die Reihe?"

01.03.2012, 15:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Pi*z*z*a
gibt es, bzw was ist der Unterschied zwischen dem Konvergenzradius und "für welche x konvergiert die Reihe?"

Im Prinzip keinen. Aber man muß eben schauen, welche Formel man für den Konvergenzradius nimmt. Da stehen nämlich gewisse Voraussetzungen und diese muß auch eine Reihe erfüllen. Wenn man z. B. eine Reihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k \cdot x^k \end{eqnarray*}$ , dann taucht in der Formel für den Konvergenzradius nur das a_k und anderes, aber nicht das x^k, auf. Warum das so ist, ergibt sich aus dem Quotientenkriterium.

01.03.2012, 16:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pi*z*z*a
@Hal9000
und warum darf ich das x^n da quasi weglassen?

Nichts wird "weggelassen": Wenn es um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n \end{eqnarray*}$ geht, dann kannst du das $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ doch nicht nochmal "doppelt" in $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ verbraten.

Nochmal: Es geht in diesem Kontext NICHT um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ (das man allles zigmal wiederholen muss). unglücklich

unglücklich

01.03.2012, 17:14

Pi*z*z*a

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Ok dann kletter ich mal auf eine Leiter.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^{k}}{k} \end{eqnarray*}$

hat R=1, ergo |x|<1 für Konvergenz

das gleiche habe ich bei

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^{k}}{k²} \end{eqnarray*}$

als R und somit auch x heraus.

Bei der zweiten leuchtet mir das ein bei der ersten nicht so ganz.

hoffentlich smile

smile

letztes
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3^{k/2}}{k} * x^{k} \end{eqnarray*}$

hier komme ich auf einen Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

Das wurde jetzt alles über das Quotientenkriterium gerechnet, da sich das Wurzelkriterium nicht angeboten hat. Wenn das jez Richtig ist dann hab ichs glaub gerafft smile

smile

// habe noch eins gefunden

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{6} + \frac{3}{k} \right)^{2k} * x^{k} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich jetzt das wurzelkriterium genutzt...

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \left(\frac{1}{6} + \frac{3}{k} \right)^{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann Konvergenzradius Unendlich?

01.03.2012, 17:40

Pi*z*z*a

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ich meine natürlich
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \left(\frac{1}{6} + \frac{3}{k} \right)² = \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

Woraus ein Konvergenzradius von 12 entstehen würde?

01.03.2012, 17:43

Gilbert0

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Rechenfehler des Todes.

01.03.2012, 17:45

Pi*z*z*a

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war das zur dummheit mit dem Limes oder Generell? verwirrt

verwirrt

01.03.2012, 18:46

HAL 9000

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Ironie trifft bei manchen auf schieres Unverständnis...
Gilberts Bemerkung bezieht sich auf $\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{1}{36} \neq \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ .

01.03.2012, 18:48

Pi*z*z*a

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oh... jap das is allerdings böse.. vor allem wenn man das ganze quasi 2 mal falsch macht Hammer

Hammer

aber davon abgesehen dass ich nicht quadireren kann... is der rest im rahmen? merci

01.03.2012, 21:02

Pi*z*z*a

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oder mal anders gefragt:

abgesehen von dem kleinen Missgeschick mit 1/36 ist sonst noch ein Fehler zu finden?

Grüße Frank

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