Quadratische Ergänzung ohne Formel

18.01.2007, 20:51

Farrah

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Quadratische Ergänzung ohne Formel

Hi!

Bitte, könnt ihr mir helfen, eine quadratische Ergänzung ohne Formel zu machen? Habe das noch nie gemacht.
Ich soll die Lösungsenge bestimmen.

L= ( alle x für die gilt: 2xhoch2 - 13x - 7= 0)

Wie fange ich da jetzt am besten an?

Gruß

Farrah

18.01.2007, 20:54

Dunkit

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erstmal bringst du die Gleichung in die Form
$\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$

/EDIT: Das da oben ist natürlich Müll, du musst es in dir Form $\begin{eqnarray*} x^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$ bringen, also a = 1

18.01.2007, 20:57

TommyAngelo

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also:

$\begin{eqnarray*} 2x²-13x-7=0 \end{eqnarray*}$ |:2
$\begin{eqnarray*} x²-6,5x-3,5=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x²-6,5x+(3,25)²-(3,25)²-3,5=0 \end{eqnarray*}$ dann kannste nämlich die binomische formel anwenden:
$\begin{eqnarray*} (x-3,25)²-(3,25)²-3,5=0 \end{eqnarray*}$

ich hoffe, das hat dir weitergeholfen.

18.01.2007, 21:02

Farrah

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oh man... ich glaube,ich weiß nicht, was ich tun soll. Echt nicht. unglücklich

unglücklich

Tut mir leid...

18.01.2007, 21:03

Dunkit

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ähm Prinzip "Mathe online verstehen!"

In diesem Sinne versuch lieber, es alleine rauszubekommen ;-)

/EDIT: Du hast aber doch in der Schule die quadratische ergänzung mal besprochen, oder?

18.01.2007, 21:07

Farrah

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Das ist jetzt aber ungerecht! Ich will bestimmt nicht, dass ihr mir hier die Lösung hinschreibt.
Und nein: Ich habe in der Schule die quadratische Ergänzung nicht besprochen, weil ich an einer Fernschule bin und nur zu Hause aus Heften lerne.
Leider verstehe ich das alles nicht, was da drin steht. unglücklich

unglücklich

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18.01.2007, 21:13

Dunkit

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hm ok.
Also bei der quadratischen Ergänzung versucht man, einen Term so zu verändern, dass man ihn durch die binomischen Formeln Faktorisieren kann.
Man versucht also eine gleichung der Form $\begin{eqnarray*} (a + b)^2 = c \end{eqnarray*}$ zu erhalten, die man dann einfach lösen kann.

Dazu bedient man sich eines einfachen Tricks:
da $\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \end{eqnarray*}$ folgt daraus "rückwärts", dass man aus $\begin{eqnarray*} x^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$ ein Binom machen kann, indem man einfach auf beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray*} (\frac{b}{2})^2 \end{eqnarray*}$ addiert. Man erhält dann also $\begin{eqnarray*} x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 + c = (\frac{b}{2})^2 \end{eqnarray*}$ . nun kann man eine binomische Formel erkennen...

Kommst du jetzt weiter?

18.01.2007, 21:19

Farrah

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Danke dir erstmal!

Ich werd´s mal versuchenl...

18.01.2007, 21:38

TommyAngelo

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Zitat:

Original von Dunkit

Man erhält dann also $\begin{eqnarray*} x^2 + bx + \frac{b}{2} + c = \frac{b}{2} \end{eqnarray*}$ . nun kann man eine binomische Formel erkennen...

Kommst du jetzt weiter?

$\begin{eqnarray*} (\frac{b}{2})² \end{eqnarray*}$ wenn schon

18.01.2007, 21:39

Dunkit

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upps jo, da haste recht... ich korrigiers oben mal...

18.01.2007, 21:45

Farrah

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht könntet ihr mir Schritt für Schrit erklären, wie ich meine Gleichung verfahren kann. Ich habe echt noch nie eine quadrat. Ergänzung gemacht

2xhoch 2 -13x - 7 =0

die hast doch jetzt schon die Form axhoch2 +bx+c= 0 Oder?
Aber eben mit minus statt plus. Ist das ein problem?

18.01.2007, 21:49

TommyAngelo

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ne kein problem, du teilst erst mal die gleichung durch 2, dann hast du x² ganz allein dastehen und kannst es mit den entsprechenden gliedern
zu (x+..)²...=... umformen, weil du sonst die wurzel aus 2 ziehen müsstest, wär zu umständlich, also erst mal versuchen dass x² allein dasteht.

18.01.2007, 21:51

Dunkit

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das mit dem Minus ist kein Problem. Nur musst du statt der 1. binomischen Formel dann einfach die 2. anwenden ;-)
Und vorher natürlich alles auf die Form $\begin{eqnarray*} x^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$ bringen. Also in deinem Fall durch 2 Teilen

18.01.2007, 22:15

Farrah

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Gut, das habe ich jetzt gemacht.
Und als nächstes habe ich dann auf beiden Seiten 3,5 addiert.

Und jetzt... muss ich jetzt die Hälfte von - 6,5 zum quadrat nehmen und auf beiden Seiten addieren?

18.01.2007, 22:18

TommyAngelo

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richtig!

18.01.2007, 22:25

Farrah

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jetzt steht da: xhoch2 - 6,5x+10,56=14,6

War das falsch?

18.01.2007, 22:41

TommyAngelo

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linke seite stimmt, die rechte nicht ganz. rechne doch noch mal die rechte seite aus bitte

18.01.2007, 22:43

Farrah

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14,06

18.01.2007, 22:48

TommyAngelo

Auf diesen Beitrag antworten »

auch nicht^^
wie bist du denn auf 14,06 gekommen

18.01.2007, 22:52

Farrah

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versteh ich nicht. verwirrt

verwirrt

Ich habe zur 3,5, die auf der rechten Seite der Gleichung steht, die Hälfte des Quadrates von - 6,5 addiert.

18.01.2007, 22:55

TommyAngelo

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hm was ergibt das?

ach so srysry die linke seite stimmt auch net, jo d.h. du hast gerundet, solltest du lieber nicht machen ich schreib noch mal die richtige gleichung hin:

$\begin{eqnarray*} x²-6,5x+10,5625=14,0625 \end{eqnarray*}$

18.01.2007, 22:58

Farrah

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24,6

18.01.2007, 23:01

TommyAngelo

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so was kannst du jetzt auf der linken seite machen? Das ist ja der sinn der quadratischen ergänzung.

18.01.2007, 23:04

Farrah

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ach so! Man darf nicht runden - okay. Das wusste ich nicht.

Nun muss ich aber doch irgendwie das x beseitigen oder nicht?

18.01.2007, 23:06

TommyAngelo

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na ja beseitigen würde ich das jetzt nicht nennen, halt nach x umstellen.
lies mal die beiträge auf der 1. seite da steht es ja beschrieben, was als nächstes zu tun ist. na gut dann werde ich es dir einfach mal verraten, 7. beitrag! dunkit müsste ihn verfasst haben.

18.01.2007, 23:08

Farrah

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sorry. ich weiß es wirklich nicht.

18.01.2007, 23:10

TommyAngelo

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hm ok.
Also bei der quadratischen Ergänzung versucht man, einen Term so zu verändern, dass man ihn durch die binomischen Formeln Faktorisieren kann.
das hast du jetzt gerade gemacht, du hast den koeffizienten des mittelstücks der binomischen formel (hier: -6,5x), also -6,5 durch 2 geteilt und dann quadriert.

der link hier sollte dir helfen: http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Ergänzung

18.01.2007, 23:10

Farrah

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ausklammern?

18.01.2007, 23:11

Farrah

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe den beitrag von Dunkit natürlich gelesen. Aber ich bgreife nicht, was ich jetzt als nächsten Schritt tun muss.

18.01.2007, 23:15

Farrah

Auf diesen Beitrag antworten »

(3,25x)hoch 2 - 10,5625 = 14,0625 ????

18.01.2007, 23:15

TommyAngelo

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jo die linke seite ist ja ne binomische formel. ok richtig ausklammern.

PS: Die Mitternachts- oder p/q-Formel ist ja eine zusammengefasste, allgemeine quadratische Ergänzung.

18.01.2007, 23:16

Musti

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Du hast nun die Form.

$\begin{eqnarray*} x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=c \end{eqnarray*}$

Versuche herauszufinden was b ist und setze das dann in die Binomische Formel wie Dunkit es dir gezeigt hat!

Edit: Kennst du die P-q Formel?

18.01.2007, 23:20

Farrah

Auf diesen Beitrag antworten »

(x-3,25)hoch 2 = ?

Was muss ich auf der rechten Seite tun?

18.01.2007, 23:21

TommyAngelo

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die rechte seite erst mal so stehen lassen.
so was würdest du dann im nächsten schritt machen?

18.01.2007, 23:25

Farrah

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Geduld! Ich sitze seit 5 Stunden an dieser Aufgabe. Es bringt mich auch nicht weiter. unglücklich

unglücklich

ich bräuchte einfach jemanden, der mir mal eine Beispielaufgabe vorrechnet mit allen Schritten und Zwischenschritten.
Für heute ist es erstmal gut.

Danke euch!

18.01.2007, 23:34

TommyAngelo

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so dann mach rechne ich mal ne beispielaufgabe vor:

$\begin{eqnarray*} 2x²-6x+1=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x²-6x-8=0 \end{eqnarray*}$ |:2 erst mal immer durch a dividieren
$\begin{eqnarray*} x²-3x-4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x²-3x+(1,5)²-(1,5)²-4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x-1,5)²-(1,5)²-4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x-1,5)²=1,5²+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x-1,5)²=6,25 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \sqrt{} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x-1,5|=2,5 \end{eqnarray*}$ Achtung: Betragsstriche nicht vergessen

Fallunterscheidung:
1. Weglassfall (Betragsstriche einfach weglassen):
$\begin{eqnarray*} x-1,5=2,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}=4 \end{eqnarray*}$

2. Minusklamerfall (Klammer und Minus davorsetzen):
$\begin{eqnarray*} -(x-1,5)=2,5 \end{eqnarray*}$ |*(-1)
$\begin{eqnarray*} x-1,5=-2,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=-1 \end{eqnarray*}$

18.01.2007, 23:39

Musti

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Im Prinzip hast du es schon soweit gebracht dass du nur noch einsetzen brauchst.

Also verstanden hast du schon was, sonst wärst du nicht so weit gekommen.

Nur die Koeffizienten stören dich wohl, wobei du die lediglich durch die Zahlen ersetzen musst und wie bei TommyAngelos Bsp. Augabe zu Ende rechnen musst!

19.01.2007, 08:56

Farrah

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Okay...

xhoch2 -6,5x +10,5625 =14,0625 / 2.binom. Formel
(x-3,25)hoch2 +10,565=14,0625 /- 10,5625
(x-3,25)hoch2=21,125 /Wurzel ziehen
Betrag von x-3,25 =4,5961941

Fallunterscheideung:
1. Betragstriche weglassen:
x1=7,8461941

2.Klammer &Minus davorstezen:
x2=- 4,5961941

???

19.01.2007, 11:31

Musti

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Zitat:

Original von Farrah
Okay...

xhoch2 -6,5x +10,5625 =14,0625 / 2.binom. Formel
(x-3,25)hoch2 +10,565=14,0625 /- 10,5625
(x-3,25)hoch2=21,125 /Wurzel ziehen
Betrag von x-3,25 =4,5961941

Fallunterscheideung:
1. Betragstriche weglassen:
x1=7,8461941

2.Klammer &Minus davorstezen:
x2=- 4,5961941

???

Nachdem du $\begin{eqnarray*} x^2-6,5x+10,5625 \end{eqnarray*}$ in die 2.binomische Formel umgestellt hast, hast du $\begin{eqnarray*} 10,5625 \end{eqnarray*}$ übrig gelassen aber die befindet sich auch in der Klammer!

Also hast du

$\begin{eqnarray*} (x-3,25)^2=14,0625 \end{eqnarray*}$

ps: benutze bitte Latex das ist ja grauenhaft!

19.01.2007, 12:47

Farrah

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Gut...also dann bekomme ich am Ende heraus:

x1=7
x2=-0,5

Richtig oder falsch?

Und kannst du mir vielleicht noch sagen, wie man so etwas dann korrekt als Lösungsmenge angibt (mit Mengenklammern ?)

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