Basis bestimmen

01.03.2012, 09:32	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis bestimmen Hallo alle zusammen! Ich sitze an folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f:=x^{4} +x^{3} +1 \in K := Z_{2}[x]/(f) \end{eqnarray}$ Ich soll zeigen, dass K ein Körper ist. Das habe ich getan, indem ich gezeigt habe, dass f irreduzibel ist. Nun sei $\begin{eqnarray} \alpha \in K \end{eqnarray}$ eine NST von f in K. Ich soll eine Z_2 Basis von K angeben und das Element $\begin{eqnarray} <br /> (\alpha ^{2} + 1)^{-1} \end{eqnarray}$ bzgl dieser Basis ausdrücken. Meine Ideen: Da f irreduzibel und normiert ist, ist die Körpergraderweiterung 4. Die Basis ist dann gegeben durch $\begin{eqnarray} B := (1,\alpha, \alpha ^{2}, \alpha ^{3}) \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} <br /> g = x^{2} + 1 \end{eqnarray}$ . Dann muss der ggt von f und g, der 1 ist wegen Irreduzibilität von f, in Z_2 durch f und kombiniert werden. Man sieht, dass $\begin{eqnarray} f = xg + x^{3}-x+1 \end{eqnarray*}$ . Ist mein Weg bis hierhin ok? Und wie mache ich nun weiter?
01.03.2012, 10:58	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Idee ist gut aber noch nicht ganz zu Ende gedacht. Gesucht ist ja $\begin{eqnarray} h:=(\alpha^2 +1)^{-1} \end{eqnarray}$ anders ausgedrückt suchen wir h mit $\begin{eqnarray} h\cdot (x^2+1)=k\cdot f +1 \end{eqnarray}$ (k auch irgendein Polynom). Das müsste dich an etwas erinnern. Und die Identifikation von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und x in diesem Kontext ist auch vollkommen richtig.
01.03.2012, 15:47	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, meinst du, es sollte mich an Bezout erinnern? Kann mit deinem Hinweis leider noch nicht wirklich was anfangen...
01.03.2012, 20:13	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, Bezout meine ich. Der ist fast immer mittel der Wahl wenn man in endlichen Körpern was invertieren soll

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