Grenzwert einer Reihe

01.03.2012, 11:16

Splinter

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Grenzwert einer Reihe

Guten Morgen zusammen smile

smile

Wir haben irgendwie Probleme dabei, einen Grenzwert einer Reihe zubestimmen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k\geq 1} (-1)^(k+1) * \frac{k}{2^k} \end{eqnarray*}$

also es heißt (-1)^(k+1)

das bedeutet doch dass ich auch schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty ((-1)^(k+1))*\frac{k}{2^k} \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich dann weiter vor?
Vor allem mit diesem blöden (-1)(k+1) davorne...

Vielen Dank im Voraus

01.03.2012, 11:20

Matze1991

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RE: Grenzwert einer Reihe
Weißt du generell wie man den Grenzwert einer Reihe bestimmt ?

01.03.2012, 11:27

Splinter

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also bisher hab ich das so gemacht, dass ich mich mit ner endlichen summe angenähert hab, zum beispiel mit der endlcihen geometrischen reihe.

also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k = \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=o}^n q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$
so wars in unserem skript jedenfalls.

01.03.2012, 11:30

Matze1991

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Hm okay, also ich würde hier einfach das Quotientenkriterium anwenden, sagt dir das was?

01.03.2012, 11:34

Splinter

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jap das ist doch:

$\begin{eqnarray*} | \frac{a(n+1)}{an} | \end{eqnarray*}$

also übertragen müsste das sein:

$\begin{eqnarray*} | \frac{((-1)^(k+2))*\frac{k+1)}{2^(k+1)} }{((-1)^(k+1))*\frac{k}{2^k} } | \end{eqnarray*}$

ich krieg die exponenten nich so gut dargestellt.

01.03.2012, 11:40

Matze1991

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einfach im formeleditor Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber im Prinzip richtig und jetzt vereinfachen und dann schauen wie es sich verhält wenn k gegen unendlich läuft

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01.03.2012, 11:43

Splinter

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okay nach auflösen bekomm ich am schluss 1/2 raus.

aber ich dachte mit dem quotientenkriterium berechnet man den Konvergenzradius und nicht den Grenzwert..

01.03.2012, 11:44

Splinter

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mit dem quotientenkriterium hab ich auch überprüft, ob die reihe absolut konvergiert.

01.03.2012, 12:02

Mulder

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Mit dem Quotientenkriterium ist der Reihenwert nicht zu ermitteln.

Vielleicht kannst du deine Reihe aber ja geschickt umformen und bedenken, dass man immerhalb des Konvergenzradius' gliedweise differenzieren darf. Schreib dir mal die geometrische Summenformel hin und leite auf beiden Seiten der Gleichung ab. Das liefert dir bestimmt einen Ansatz.

01.03.2012, 12:03

Splinter

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Also irgendwie hat mich das jetzt nicht weitergebracht.

Das Ergebnis ist auch falsch, ich weiß was rauskommen sollte.

Hat noch jemand einen Tipp?

01.03.2012, 12:06

Valdas Ivanauskas

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RE: Grenzwert einer Reihe
Du hast da also den Wert der Reihe

$\begin{eqnarray*} -\sum_{n=1}^\infty n\left(-\frac 12\right)^n \end{eqnarray*}$

zu ermitteln und das geht ganz vortrefflich mit dem Cauchy'schen Multiplikationssatz für Reihen (Cauchyprodukt).

01.03.2012, 12:07

Splinter

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RE: Grenzwert einer Reihe
Ja das hatte ich auch raus, aber was zur Hölle ist der Cauchy'sche Multipliktaionssatz Big Laugh

Big Laugh

01.03.2012, 12:15

Splinter

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okay habs gegooglet.

also steht da:
$\begin{eqnarray*} - ((\sum\limits_{k=0}^\infty k)*(\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{-1}{2})^k) \end{eqnarray*}$

Von der zweiten Summe der Grenzwert ist 3/2
und der von der ersten?

01.03.2012, 13:00

Valdas Ivanauskas

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Ne, so wird das nix!
Wähle lieber folgenden Ansatz:

Sei $\begin{eqnarray*} |x|<1. \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{1-x}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty x^n\cdot\sum_{n=0}^\infty x^n\\=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n x^kx^{n-k}\\=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n\\=\sum_{n=0}^\infty nx^n+\sum_{n=0}^\infty x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \sum_{n=0}^\infty nx^n=\left(\frac 1{1-x}\right)^2-\frac 1{1-x} \end{eqnarray*}$

Damit sollte sich doch nun was machen lassen - oder?!?

01.03.2012, 13:14

Huggy

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RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von Splinter
Ja das hatte ich auch raus, aber was zur Hölle ist der Cauchy'sche Multipliktaionssatz Big Laugh

Big Laugh

Wenn ihr den noch nicht hattet, folge dem Vorschlag von Mulder. Damit geht es recht einfach.

01.03.2012, 13:26

Splinter

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \sum_{n=0}^\infty nx^n=\left(\frac 1{1-x}\right)^2-\frac 1{1-x} \end{eqnarray*}$

Damit sollte sich doch nun was machen lassen - oder?!?

ja das stimmt. nur weiß ich noch nicht ganz, woher du das weißt, was nach dem folgepfeil steht.

01.03.2012, 13:58

Valdas Ivanauskas

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Ich hab Dir doch vorgerechnet, dass

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{1-x}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty nx^n+\underbrace{\sum_{n=0}^\infty x^n}_{=\frac 1{1-x}} \end{eqnarray*}$

Jetzt klar?

01.03.2012, 14:10

Splinter

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ja danke

smile

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