Rekursive Folge mit sin x_n

01.03.2012, 13:36

T-Pain

Rekursive Folge mit sin x_n

Hallo,

brauche ein paar Tipps zu folgenden Aufgaben:

a.) Beweise, dass sin x < x für alle x > 0.

Die Aufgabe habe ich schon mit dem MWS gelöst, aber hat jemand vll einen alternativen Lösungsweg?

b.) Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \left[0, \pi \right] \end{eqnarray*}$ . Die Folge $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei rekursiv definiert durch

$\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ = a ,

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sin x_{n} \end{eqnarray*}$ .

Beweise, dass $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ konvergent ist.

c.) Bestimme den Limes der Funktion.

Also Aufgabe a.) habe ich gelöst mit dem MWS und komme dann auch wieder auf die Behauptung, aber würde gerne einen alternativen Lösungsweg haben.

Aufgabe b.):

Eine Folge ist konvergent, wenn sie monoton und beschränkt ist!
Bei der Monotonie benutze ich die oben bewiesene Ungleichung, denke, dass das auch vorausgesetzt wird:

Oben habe ich die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sin(x) < x \end{eqnarray*}$ genannt. Diese Ungleichung nutze ich für $\begin{eqnarray*} x=a_n \end{eqnarray*}$ - was also $\begin{eqnarray*} \sin(a_n) < a_n \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Wäre das so in Ordnung?

Bei der Beschränktheit bin ich miri nicht sicher, wie ich das anstellen soll verwirrt

Aufgabe c.)

Wie man allgemein der Grenzwert einer rekursiven Funktion berechnet ist mir bekannt, aber ehrlichgesagt stört mich der Sinus. vermute mal, dass der Grenzwert bei 0 liegt, aber ich kann es nicht zeigen!

01.03.2012, 13:50

Cel

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Hallo T-Pain,

schon mal gute Ansätze. Freude

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \sin(x_n) < x_n \end{eqnarray*}$ ist ok, allerdings nur wenn $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Betrachte den Fall a = 0 getrennt. Denn im MWS (Aufgabe a) hast du ja vorausgesetzt, dass a > 0 ist. Deine Bearbeitung ist für a > 0 aber vollkommen richtig. Beschränktheit ist einfach, was ist denn mit $\begin{eqnarray*} \sin(x_n) \end{eqnarray*}$ ? Ist das beschränkt?

Zum GW kommen wir danach (du hast aber Recht).

01.03.2012, 15:34

T-Pain

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hallo cel, danke für deine antwort!

also ist die folge monoton fallend.

es wird ja definiert, dass a = $\begin{eqnarray*} \in \left[0, \pi \right] \end{eqnarray*}$

daher müsste $\begin{eqnarray*} \sin (x_{n}) \end{eqnarray*}$ ja beschränkt sein, aber reicht es, das so zu begründen?

01.03.2012, 15:40

Cel

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Das reicht. Dass der Sinus nur Werte zwischen -1 und 1 annimmt, weißt du bestimmt. Und damit gilt $\begin{eqnarray*} |\sin(x_n)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

01.03.2012, 16:18

T-Pain

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ja das weiß ich, dass der sinus alterniert.
das sieht logisch aus Augenzwinkern

wie gehts denn jetzt weiter mit dem grenzwert? Hammer

01.03.2012, 17:00

Cel

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Wenn er existiert (und das tut er, wie du gezeigt hast), kannst du auf beide Seiten ein $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ schreiben und nutzen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} x_{n} = x \end{eqnarray*}$ ist. Dabei ist x der GW.

01.03.2012, 17:15

T-Pain

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Das ist ja der normale Weg um den Grenzwert zu berechnen.
Irgendwann wäre ja dann x = sin x.

Aber das ist ja nicht korrekt oder?

01.03.2012, 17:21

Cel

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Doch, genau das ist richtig. Du musst irgendwo noch schreiben, dass du das Limeszeichen in den Sinus ziehen kannst. Warum?

Weiter: Welche x erfüllen x = sin(x)?

01.03.2012, 17:29

Burney

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Hallo T-Pain,

sobald du alle deine Fragen geklärt hast, könntest du vllt. deine Lösung für Aufgabe a) hier kurz aufschreiben - da komme ich iwie nicht weiter..? smile

Danke schonmal im Vorraus und beste Grüße,
Daniel

01.03.2012, 17:36

Cel

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@Burney und T-Pain: Komplettlösungen gibt es hier nicht - aber auch aus einem laufenden Thread darf es Hilfe für Mitlesende geben. Bitte poste keine (!!) Komplettlösung, T-Pain. Gegen ein paar Tipps spricht nichts. So schwierig ist die Aufgabe auch nicht, gibt auch hier im Forum mehr als genug Threads, die genau diese Aufgabe behandelt.

Edit: Alles, was man dazu schreiben könnte, steht hier. Auch da gab es das Problem der Komplettlösung. Augenzwinkern

01.03.2012, 17:52

T-Pain

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Danke cel,

Oh Mann, da war ich ja aber blind!

Natürlich für 0! Bei pi gilt die Gleichung nicht, also ist der Grenzwert 0 smile

@ Daniel:

Der Ansatz für den mws steht ja in dem anderen thread. Da musst du nur noch einsetzen und auflösen.

01.03.2012, 17:55

Cel

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Genau.

Dein Vorgehen gilt aber nur für a > 0. Guck dir das ganze noch mal für a = 0 an, aber da wird das mit dem Grenzwert ganz einfach.

01.03.2012, 18:31

Burney

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Ah okay danke euch beiden, vom Mittelwertsatz hatte ich noch nichts gehört, aber das scheint ja nicht viel anders zu sein, als die Definition der Ableitung Augenzwinkern

01.03.2012, 18:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cel
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \sin(x_n) < x_n \end{eqnarray*}$ ist ok

Das setzt allerdings voraus, dass auch wirklich alle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ positiv sind. In dem Zusammenhang ist die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a\leq \pi \end{eqnarray*}$ wichtig, was mir bei all den Betrachtungen bisher nicht deutlich genug herauskommt. So würde z.B. $\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{3}{2}\pi >0 \end{eqnarray*}$ zunächst zu $\begin{eqnarray*} x_2=-1 \end{eqnarray*}$ und anschließend zu eine monoton wachsenden, negativen Nullfolge führen... nur so als Hinweis. Augenzwinkern

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