Ableitung von 1/cos²(x) und probe durch Integration

01.03.2012, 15:02	Analyst	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von 1/cos²(x) und probe durch Integration Meine Frage: Weis jemand wie man die Probe zur Ableitung von 1/cos²(x) am besten angeht? Das Ableitung der Funktion ist 2sin(x)/cos³(x). Wolfram alpha spuckt wenn man diese Funktion integriert den tan²=sec²=1/cos²(x) aus. Hat jemand einen anderen Lösungsansatz als durch die verwendung des sekans? Danke! Meine Ideen:* ich hätte auch den sekans genommen, aber ich habe benutze ihn so gut wie nie. wäre eventuell eine Partielle Integration möglich? Danke für eure Hilfe!
01.03.2012, 15:22	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von 1/cos²(x) und probe durch Integration Ableitung von $\begin{eqnarray} \frac{1}{{\cos^2}(x)} = {({\cos^2}(x))}^{-1} \end{eqnarray}$ läuft prima mit Kettenregel ... $\begin{eqnarray} = \frac{-1}{{\cos^4}(x)} \cdot 2~\cos(x) \cdot (-\sin(x)) \end{eqnarray}$
02.03.2012, 08:35	Analyst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von 1/cos²(x) und probe durch Integration Hallo SusiQuad, Danke für deine Hilfe! Wie würdest du diese Funktion Integrieren um wieder auf 1/cos² zu kommen? Daran beiße ich mir schon den ganzen Abend die Zähne aus! Vielen Dank für deine Hilfe!
02.03.2012, 08:57	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von 1/cos²(x) und probe durch Integration Wenn man die Ableitung mit der Kettenregel gemacht hat, bietet sich beim Integrieren ja die Substitution an. In diesem Fall einfach cos(x)=t.
02.03.2012, 10:29	Analyst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von 1/cos²(x) und probe durch Integration Danke Mulder habs verstanden! Doch eine Frage hätte ich trotzdem noch, warum ist der tan²=Sekans²=1/cos² ??? ich finde leider nichts in wikipedia oder ähnlichen seiten womit ich mir das Plausibel erkläreb kann! Hat jemand eine idee?
02.03.2012, 12:18	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von 1/cos²(x) und probe durch Integration Der Sekans ist einfach als 1/cos definiert. Und mit dem Tangens, nutze den trigonometrischen Pythagoras (außerdem bist du da unsauber gewesen, es ist nicht tan²(x)=1/cos²(x), sondern vielmehr tan²(x)=1/cos²(x). Sieht man so: $\begin{eqnarray} 1+ \tan^2(x) = \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} \end{eqnarray}$ Dass Wolfram trotzdem nur den tan² als Stammfunktion ausspuckt (also ohne die +1), liegt wohl daran, dass Stammfunktionen nur bis auf konstante Summanden eindeutig sind. Ob man also 1+tan²(x) oder nur tan²(x) wieder ableitet, ändert am Ergebnis nichts, die Ableitung ist dieselbe.
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