Plausibler Schätzwert

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01.03.2012, 15:57	TeeFreund	Auf diesen Beitrag antworten »
Plausibler Schätzwert Meine Frage: Für eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit Merkmalraum $\begin{eqnarray} M_X = \{1,2,3\} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (0 < p < \frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P(X=1) = P(X=3) = p, P(X=2) = 1-2p \end{eqnarray}$ . Eine Stichprobe des Umfangs n=100 ergibt: x \| 1 \| 2 \| 3 \| --------------- H \|14 \|74 \|12 \| Gesucht: der plausible Schätzwert von p. Meine Ideen: Ich bin, ehrlich gesagt, ziemlich ratlos. Um zB mit dem Maximum-Likelyhood-Verfahren zu arbeiten benötigt man die Verteilung. Aber wie lautet die in diesem Fall? Ich könnte höchstens durch die Stichprobe den Mittelwert und die Varianz schätzen, aber wie komme ich dadurch auf die Wahrscheinlichkeit? Welcher diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung folgen dieses Daten?
01.03.2012, 16:28	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Plausibler Schätzwert Für die Likelihood benötigst du nur die Wahrscheinlichkeit der Stichprobe und die kannst du angeben. Dabei brauchst du dich nicht um einen von p unabhängigen Faktor zu kümmern.
01.03.2012, 17:10	TeeFreund	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Plausibler Schätzwert Ok, also für die Likelihood muss ich die Punktwahrscheinlichkeiten multiplizieren, also $\begin{eqnarray} L(\theta; x_1, \dots, x_n) = \prod\limits_{i=1}^n p(x_i \mid \theta) \end{eqnarray}$ . Hm, wenn $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ meine Wahrscheinlichkeit ist, heißt das ich multipliziere die relativen Häufigkeiten mit $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ ?. Also $\begin{eqnarray} (0.14\theta) \cdot (0.74(1-2\theta)) \cdot (0.12\theta) \end{eqnarray}$ ? Und dann ableiten und 0 setzen?
01.03.2012, 17:17	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Plausibler Schätzwert Das ist nicht richtig. Überleg noch mal genau! Wie wahrscheinlich ist es , dass in einer bestimmten Reihenfolge 14 mal die 1, 74 mal die 2 und 12 mal die 3 auftritt. Diese Wahrscheinlichkeit wäre noch mit der Zahl der möglichen Reihenfolgen zu multiplizieren. Das ist aber für das Maximum der Likelihood unerheblich. Da dein Parameter in der Aufgabe p heißt, würde ich ihn auch in der Likelihood p nennen.
01.03.2012, 17:41	TeeFreund	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Plausibler Schätzwert Aber ohne die tatsächliche Wahrscheinlichkeit zu kennen kann ich mich doch nur auf die relative Häufigkeit des Auftretens der einzelnen Zahlen berufen! Also $\begin{eqnarray} \frac{14}{100} \cdot \frac{74}{100} \cdot \frac{12}{100} \end{eqnarray}$ . Die Zahl möglicher Reihenfolgen ist $\begin{eqnarray} \frac{100!}{14! \cdot 74! \cdot 12!} \end{eqnarray}$ ?
01.03.2012, 17:53	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Plausibler Schätzwert Nein!!! Die Wahrscheinlichkeit für die Stichprobe in einer bestimmten Reihenfolge ist: $\begin{eqnarray} p^{14}(1-2p)^{76}p^{12} \end{eqnarray}$ Das ergibt sich aus dem Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse. Das Schema ist dasselbe wie bei der Binomialverteilung. Bei mehr als 2 möglichen Ergebnissen heißt die Verteilung Multinomialverteilung. Das muss man aber nicht wissen. Deine Anzahl möglicher Reihenfolgen ist richtig. Die spielt aber für das Maximum der Likelihood keine Rolle.
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01.03.2012, 18:07	TeeFreund	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke! Es erscheint mir jedoch höchst unkomfortabel mit so hohen Exponenten zu rechnen. Sollte ich möglicherweise die Logarithmusfunktion zur Basis p bilden, diese ableiten und anschließend 0 setzen und p brechnen?
01.03.2012, 18:13	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Man maximiert häufig $\begin{eqnarray} \ln L \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ . Hier bringt es aber keinen Vorteil. Die hohen Potenzen kürzen sich schnell weg. Und du solltest natürlich zuerst die p-Potenzen zusammenfassen.
01.03.2012, 18:48	TeeFreund	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich habe jetzt P(X=1) = P(X=3) = 0.13 und P(X=2) = 0.74. Stimmt das?
01.03.2012, 18:50	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt!
01.03.2012, 18:51	TeeFreund	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe!

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