Folge in einer Menge: Notationsfrage

01.03.2012, 16:42

terri

Folge in einer Menge: Notationsfrage

Hi,

erstmal die Definition einer Folge

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha:\mathbb{N} \mapsto M \end{eqnarray*}$ heißt Folge in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Für eine Folge benutzen wir dann immer folgende Schreibweisen: $\begin{eqnarray*} \{ a_n \}_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ bzw einfach kurz $\begin{eqnarray*} \{ a_n \} \end{eqnarray*}$

So, und jetzt suche ich eben eine möglichst kurze, aber exakte schreibweise, dass $\begin{eqnarray*} \{ a_n \} \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist.

1. Vorschlag: Über die Definition, immer richtig, aber nicht gerade anwenderfreundlich

2. Vorschlag: Sei $\begin{eqnarray*} \{ a_n \} \end{eqnarray*}$ eine Folge, $\begin{eqnarray*} a_n\in M\;\forall\;n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Meiner Meinung nach auch richtig, aber lang.

3. Vorschlag: Sei $\begin{eqnarray*} \{ a_n \}\in M \end{eqnarray*}$ . Man versteht was gemeint ist, aber ist formal wohl falsch.

4. Vorschlag: $\begin{eqnarray*} \{ a_n \}\subset M \end{eqnarray*}$ . Hier schreibe ich, dass die Menge der Folgenglieder eine Teilmenge des Wertebereiches ist, dies erschien mir sinnvoll, da unsere Notation ja an eine Menge erinnert.

Eigentlich ist meine Frage erschreckend dumm, aber mir ist eben aufgefallen, dass oft dieses Problem umschifft wird, indem man sich auf Prosa zurückzieht.

Terri

01.03.2012, 17:23

SusiQuad

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RE: Folge in einer Menge: Notationsfrage

Eine Folge ist eine spezielle Funktion, nämlich mit Def.Bereich $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Kürzer geht nicht. Exakt das steht in der Definition.

Stümperei

Rest ...

01.03.2012, 21:38

Iorek

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@SusiQuad,
was hat denn deine Antwort mit der Frage zu tun? verwirrt

@terri,
habt ihr die Wertemenge einer Folge definiert? Darüber könnte man das kurz und knackig angeben (bezeichnet etwa $\begin{eqnarray*} W_a=\{a_n~|~n\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ die Wertemenge, so wäre $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} W_a\subset M \end{eqnarray*}$ ).

01.03.2012, 22:38

SusiQuad

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Zitat:

was hat denn deine Antwort mit der Frage zu tun?

sry, möglicherweise war mein Post zu kompliziert.

01.03.2012, 22:41

Iorek

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Dein Post war nicht zu kompliziert, er ist aber nicht auf die Frage eingegangen. Gefragt war nach einer möglichen Schreibweise dafür, dass alle Folgenglieder in einer konkreten Menge M liegen. Dass eine Folge als Abbildung mit Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiert ist, hat damit nichts zu tun.

01.03.2012, 23:02

SusiQuad

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Zitat:

Original von terri
erstmal die Definition einer Folge

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha:\mathbb{N} \mapsto M \end{eqnarray*}$ heißt Folge in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Für eine Folge benutzen wir dann immer folgende Schreibweisen: $\begin{eqnarray*} \{ a_n \}_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ bzw einfach kurz $\begin{eqnarray*} \{ a_n \} \end{eqnarray*}$

Wir benutzen $\begin{eqnarray*} \{ ..\} \end{eqnarray*}$ ist das, was mich stört, weil $\begin{eqnarray*} (..) \end{eqnarray*}$ zwingend ist, da sich $\begin{eqnarray*} \{ 1\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (1,1,1,1,1,1,\ldots) \end{eqnarray*}$ unterscheidet, ergo die Def. einer Folge per $\begin{eqnarray*} \{ \ldots \} \end{eqnarray*}$ falsch ist.

Im Originalpost ist von Wertemenge nicht die Rede. Aber o.k. - Bei $\begin{eqnarray*} W_a=\{a_n~|~n\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ wird die Wertemenge / Bildmenge definiert, wobei vorher klar sein muss, was eine Folge ist, sodass Deine 'Kreisdefinition' IMHO fragwürdig ist.

Das hat damit zu tun.

01.03.2012, 23:07

Iorek

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An Schreibweisen kann man sich stören, hat hier aber nur bedingt damit zu tun. Wo du eine Kreisdefinition siehst, ist mir absolut schleierhaft. Ich habe extra gefragt, ob die Wertemenge einer Folge definiert wurde und eine mögliche Definition mit angegeben.

01.03.2012, 23:14

Airblader

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Neuerdings können Definitionen also falsch sein. Nein, liebe Susi, die Schreibweise ist zwar ungebräuclich, aber möglich – wenn es nunmal so definiert wurde. Mein Analysis-Professor bezeichnet Folgen übrigens ebenfalls mit diesen Klammern, aber der ist ja nur Doktor, Professor und aktiv in der mathematischen Forschung, was weiß der schon.

Hier wurde von "einer Folge in M" gesprochen und damit meint man nunmal $\begin{eqnarray*} a_n \in M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Das geht auch aus der Definition hervor, die der Fragesteller genannt hat.

air

01.03.2012, 23:46

SusiQuad

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Mit einer 'Folge in M' hebt man nur die Wertemenge M hervor. Es ist und bleibt eine Folge. Die Eingangsdefinition besagt: $\begin{eqnarray*} \alpha =(a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Dass $\begin{eqnarray*} a_n \in M \end{eqnarray*}$ ist trivial, schliesslich ist M die Wertemenge. Worüber wir reden, ist $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ , nämlich eine Folge.

Und wenn Dein Prof. sich irgendeine Freiheit nimmt, juckt mich nicht. Es gibt andere, die sich das nicht erlauben. Aber gut, dann ist $\begin{eqnarray*} {\mathbb R}^{\mathbb N} = {\mathbb R} \end{eqnarray*}$ und die Dinge vereinfachen sich ungemein.

Du siehst, ich bin tolerant. Ich akzeptiere Meinungen. Aber sie müssen nicht wahr sein.
Mit Zunge

01.03.2012, 23:54

Airblader

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Ich verstehe nicht, wieso du so unflexibel bist, einem Symbol nur eine Bedeutung zukommen zu lassen. Es ist auch gebräuchlich, mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sowohl die Kreiszahl als auch die Projektionsabbildung zu bezeichnen. Genauso kann man mit $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ Mengen oder Folgen bezeichnen. Es ist eine Definition und diese können nicht falsch sein – lediglich sinnvoll oder nicht. Ob das hier der Fall ist, ist eine andere Frage. Sie ist jedenfalls nicht falsch.

air

02.03.2012, 00:06

Iorek

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Wie kommst du jetzt auf den Vergleich mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R^\mathbb N=\mathbb R \end{eqnarray*}$ ? Das ist vollkommener Schwachsinn und völlig am Thema vorbei!

Es geht bei der Frage darum, dass die Wertemenge genauer eingeschränkt wird und man nicht nur von einer Folge sondern eben von einer Folge in M spricht. Definiert man eine Folge als Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach beispielsweise $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so wäre die Folge $\begin{eqnarray*} \{a_n\}_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ oder meinetwegen auch $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac 1n~\forall n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , setzen wir $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n\cdot n \end{eqnarray*}$ erhalten wir eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Danach und nach einer passenden Schreibweise war gefragt, nicht mehr und nicht weniger. Und bisher hat sich keiner deiner Posts auf diese Frage bezogen.

02.03.2012, 00:46

SusiQuad

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Wir haben $\begin{eqnarray*} \alpha = (a_n)_{n \in \mathbb N} \in {\mathbb R}^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und wir haben $\begin{eqnarray*} \{a_n\}_{n \in \mathbb N} \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ für den Fall $\begin{eqnarray*} M= \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Ergo: $\begin{eqnarray*} \bigcup \{ \alpha \} = {\mathbb R}^{\mathbb N} = \mathbb R = \bigcup \{a_n\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das ist vollkommener Schwachsinn und völlig am Thema vorbei!

... es ist vollkommener Schwachsinn, aber Thema dieses Threads, denn es ist eure Meinung und die Konsequenz der $\begin{eqnarray*} \{\ldots\} \end{eqnarray*}$ -Folgen-Definition. - Und daher mein letzter Post zu diesem Thema.

02.03.2012, 01:14

Airblader

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Liebe SusiQuad, du scheinst nicht zu verstehen, dass eine gewisse Schreibweise mehrere Bedeutungen haben kann. In diesem Kontext ist mit $\begin{eqnarray*} \{a_n\} \end{eqnarray*}$ keine Menge gemeint. Du interpretierst absichtlich etwas hinein, was hier nicht gemeint ist. Das darf dein letzter Post gewesen sein, im Unrecht bleibst du damit halt auch weiterhin.

Nochmal zur Verdeutlichung: Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \pi(r+s) \end{eqnarray*}$ könnte sowohl die Projektion der Summe zweier Vektorraumelemente in einen niedrigdimensionaleren Raum sein als auch der halbe Umfang eines Kreises mit Radius r+s. Es kommt auf den Kontext an.

Ein anderes Beispiel: Wenn ein Winkel in einem Dreieck $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ heißt, wie es völlig üblich ist, dann kannst du nicht einfach annehmen, dass dessen Wert dem der Euler-Mascheroni-Konstante entspricht, nur weil diese auch mit $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird.

air

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