Integral einer Wurzelfunktion.

18.01.2007, 21:20

donvito

Integral einer Wurzelfunktion.

Ich bins mal wieder mit einer meiner saudoofen Fragen Augenzwinkern

Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve

$\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} t - sin t \\ 1 - cos t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe sogar schon einen Ansatz:
$\begin{eqnarray*} L = \int_{b}^{a}~\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf folgendes
$\begin{eqnarray*} L = \int_{b}^{a}~\sqrt{1 - cos^2(t) - sin^2(t)} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Und jetzt kommts:
Wie kriege ich ne Stammfunktion dazu?

18.01.2007, 21:34

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Zitat:

Original von donvito
Dann komme ich auf folgendes
$\begin{eqnarray*} L = \int_{b}^{a}~\sqrt{1 - cos^2(t) - sin^2(t)} \end{eqnarray*}$

Nein, ist falsch - wie hast du denn da eingesetzt? Richtig eingesetzt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} L = \int_{b}^{a}~\sqrt{(1 - \cos(t))^2 + \sin^2(t)} \end{eqnarray*}$

18.01.2007, 22:41

donvito

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Ok, danke, wie gehts jetzt weiter?

18.01.2007, 22:48

Marcyman

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Den quadratischen Term auflösen, $\begin{eqnarray*} sin^2+cos^2=1 \end{eqnarray*}$ ausnutzen und dann mal die Trickkiste auspacken um das entstehende Integral zu lösen. Da muss jeder mal durch! Augenzwinkern

Edit: habs wohl mit nem anderen Integral verwechselt, ganz so schlimm ist das hier nicht smile

19.01.2007, 08:32

donvito

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Ja was nu haste es verwechselt oder nicht? Werde das heute in der Matheübungsstunde mal anpacken, du hast Recht da muss jeder mal durch, die anderen können das irgedwie schon Gott

19.01.2007, 10:47

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So trickreich ist es nun wieder nicht, aber ein paar Additionstheoreme sind schon hilfreich. Formen wir also mal den Term unter der Wurzel ein wenig um:

$\begin{eqnarray*} (1-\cos(t))^2 + \sin^2(t) = 1-2\cos(t)+\cos^2(t)+\sin^2(t) = 1-2\cos(t)+1 = 4\cdot \frac{1-\cos(t)}{2} = 4 \sin^2\left( \frac{t}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Da nun das meiste verraten ist, müsstest du eigentlich zurechtkommen. Augenzwinkern

21.01.2007, 11:55

donvito

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Danke! Meine Frage bezog ich aber eigentlich darauf, wie ich die Wurzel auflöse, damit habe ich nämlich die eigentlichen Probleme. Wäre nett, wen ihr mir dazu noch nen Tipp liefern könntet :-)

21.01.2007, 11:58

Calvin

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Die Umformung von Arthur ist gerade der Ausdruck unter der Wurzel.

21.01.2007, 16:27

donvito

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Schon klar, aber die Wurzel selber habe ich ja dann noch und mir ist nicht ganz klar, wie ich davon ne Stammfunktion bilde. Denn bei Wurzeln gibts ja keine allgemeingültige Methode...

21.01.2007, 16:29

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Hmm, den Term $\begin{eqnarray*} \sqrt{z^2} \end{eqnarray*}$ zu vereinfachen, ist natürlich kolossal schwer. Wie wär's denn mit

$\begin{eqnarray*} \sqrt{z^2} = |z| \end{eqnarray*}$ ? smile

21.01.2007, 16:32

donvito

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Stimmt, das ist wirklich kolossal schwer! smile

Und dann fällt die Wurzel ja einfach weg! supi! Wieder eine Aufgabe weniger Big Laugh

22.01.2007, 12:56

donvito

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Hallo nochmal,

hat jemand eine Ahnung, was gemeint ist mit Bestimmen Sie die Krümmung der Kurve r(t) für t e (0, 2pi)? Mir ist natürlich klar, was die Krümmung auf einem Intervall ist, aber was mir nicht klar ist, wie man das mit der Formel bei Wikipedia (Parameterdarstellung) berechnen soll. Da kann man ja nur einen Punkt einsetzen?

Genaugenommen darf ich ja noch nichtmal 0 und 2pi einsetzen, denn die gehören nicht zum Intervall.

Oder muss ich dazu einfach einmal die Formel für 0 und dann einmal für 2pi und das ganze dann subtrahieren/addieren?

22.01.2007, 13:57

Calvin

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RE: Integral einer Wurzelfunktion.
Hm, ich verstehe dein Problem nicht so ganz. Die Krümmung ist ja abhängig davon, an welchem Punkt du dich befindest.

Deine Kurve ist $\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) = \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t - sin t \\ 1 - cos t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt entsprechend in die Formel $\begin{eqnarray*} k=\left| \frac{\dot{x}(t)\ddot{y}(t)-\ddot{x}(t)\dot{y}(t)}{\left(\dot{x}(t)^2+\dot{y}(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right| \end{eqnarray*}$ einsetzen gibt dir die Krümmung in Abhängigkeit von t.

22.01.2007, 14:02

donvito

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Aber wie krieg ich dann die Krümmung im offenen Intervall (0, 2pi)?

Einfach t+2pi da einsetzen?

22.01.2007, 14:18

Calvin

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Äh nein, du hast deine Krümmung abhängig von t. Und t ist im Intervall (0,2pi). Das reicht dann. Mehr ist nicht zu tun.

Alternativ kannst du natürlich jede Zahl zwischen 0 und 2pi einsetzen, aber damit würdest du nie fertig werden Augenzwinkern

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Integral einer Wurzelfunktion.

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