Dimension Unterraum

18.01.2007, 21:39

SilverBullet

Dimension Unterraum

Hallo,

hab hier ne Aufgabe bei der ich einfach zu keiner Lösung komme.
Ich poste mal nur den Teil der Aufgabe der mir Probleme macht :

Berechne die Dimension von dem durch die Vektoren aufgespannten Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ :

U = <(1,2,0,1,0), (1,1,1,0,-1), (1,0,-1,1,0)>

Ok also ich habe probier die Vektoren als Gleichungssystem zu schreiben welches ich = 0 gesetzt hab um halt auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen. Sind sie unabhängig spannen sie ja hoffentlich den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ auf oder ?

Soweit so gut, bekomme jedoch absolut keine Lösung für das Gleichungssystem raus. Jemand ne Idee was ich falsch mache ?

18.01.2007, 21:48

therisen

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RE: Dimension Unterraum

Zitat:

Original von SilverBullet
Ok also ich habe probier die Vektoren als Gleichungssystem zu schreiben welches ich = 0 gesetzt hab um halt auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen. Sind sie unabhängig spannen sie ja hoffentlich den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ auf oder ?

Den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ??? Nein!

Tipp: Gaußscher Algorithmus.

Gruß, therisen

18.01.2007, 22:07

SilverBullet

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Hmm also das Gaußsche Eliminationsverfahren hilft mir leider auch nicht weiter, ist im Grunde ja das selbe wie mein Gleichungssystem. Man bekommt es nicht auf diese Dreiecksform unglücklich

18.01.2007, 22:18

SilverBullet

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Bekomme sowas raus wie :

a = (2e - d)/ 3

b= -(d+e) / 3

c = 2(d+e) /3

Ich kann ja nun einfach e und d beliebig wählen, und damit ist dann mein Gleichungssystem linear abhängig.

Nun steh ich aber vor dem Problem die Dimension zu bestimmen oder kann ich einfach sagen, da die 3 abhängig sind sind 2 linear unabhängig das ist ja schnell gezeigt und damit ist die Dimension des durch das System augespannten Raum 2 ?

18.01.2007, 22:23

therisen

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Zitat:

Original von SilverBullet
Man bekommt es nicht auf diese Dreiecksform unglücklich

Ach nein?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wird zu

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, eigentlich wollte ich noch etwas zur Dimensionsbestimmung schreiben, aber ich muss jetzt weg.

Gruß, therisen

18.01.2007, 22:34

yeti777

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Hallo SilverBullet!

Sei $\begin{eqnarray*} U= <\vec{u_1} ,\vec{u_2} ,\vec{u_3} > \,\,mit \,\,\vec{u_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \,\,,\,\,\vec{u_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} \,\,,\,\,\vec{u_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falls die 3 Vektoren unabhängig sind, ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^3~\alpha_k \vec{u_k} = \vec{o} \Rightarrow \alpha_k = 0 \text{ für } k= 1,2,3 \end{eqnarray*}$

Gruss yeti

@therisen: Zu spät.

18.01.2007, 22:35

SilverBullet

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Ok was ich oben geschrieben habe stimmt dann nicht hab das falsch aufgestellt Zeilen und Spalten vertauscht unglücklich

Dank der Matrix sieht man ja das das System lin. unabhängig ist und die Dimension des erzeugten Unterraumes ist 3. Right ?

Edit @ Yeti

Jupp hast recht hab ich grad auch gemerkt hab das einfach nur falsch herum aufgestellt und hatte dann 5 Variablen und nur 3 Gleichungen smile

Doppeledit :

Versteh jedoch noch nicht wieso es nicht der R³ ist der aufgespannt wird.

18.01.2007, 23:15

Sunwater

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naja, du weißt doch auch dass zwei Vektoren eine Ebene aufspannen... - aber nicht jede Ebene ist der R².

Mit 3 Vektoren bekommst du etwas, dass dem R³ schon sehr ähnlich ist, aber es kann im R^5 "schief" drin liegen...

hoffe du weißt was ich meine...

stell es dir einfach drei Dimensionen tiefer vor, dann ist es einfacher...

Nicht jede Gerade ( 1 dimensionaler Vektorraum ) ist gleich die x-Achse ( Menge der reellen Zahlen R ). Du kannst eine Gerade im Raum sonstwie reinlegen...

alles klar?

19.01.2007, 10:37

SilverBullet

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Hmm ja im 1-Dimensionalen ist mir das klar.
Aber im R³ nicht unglücklich

Klar liegt mein Unterraum da schief drin aber der ist doch unendlich groß und damit erreiche ich doch alle Punkte und kann alle Vektoren bilden die der R³ beinhalten oder nicht ?

19.01.2007, 11:18

yeti777

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Hallo SilverBullet!

Eigentlich hat Sunwater schon Alles gesagt und das auch sehr anschaulich. Ich häng mich dran und probiere es mit einem weiteren (saloppen) Beispiel: Stell dir vor, du hättest eine schiefe Ebene im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , die nicht durch den Nullpunkt verläuft. Stell dir vor, auf dieser Ebene krabble ein kleiner Käfer herum. Dieser Käfer kann jeden Punkt der ins Unendliche reichenden Ebene erreichen (wenn er die Kraft dazu hat Augenzwinkern

), aber den Nullpunkt kann er zB nicht erreichen und jeden anderen Punkt des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ auch nicht, wenn dieser nicht zufällig auf der Ebene liegt. Der Käfer bewegt sich in einem 2-dimensionalen Raum, der in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ eingebettet ist. Trotzdem ist die zweidimensionale Ebene nicht identisch mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , denn die Punkte der Ebene werden durch 3-elementige Vektoren dargestellt, diejenigen des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ durch 2-elementige. (Ich hoffe die Mathe-Profis stossen sich nicht allzu sehr an dieser hemdsärmeligen Beschreibung Augenzwinkern

).

Gruss yeti

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