Grenzwert mit Integral und l`Hospital

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02.03.2012, 09:05	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit Integral und l`Hospital Meine Frage: Hallo, Ich hänge schon seit längerem an einer eigentlich relativ einfachen Aufgabe. und zwar soll ich den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } xe^{-x²} \int_0^x \! e^{t²} \, dt \end{eqnarray}$ mithilfe von l'Hospital bestimmen. Allerdings kann man das ganze doch wenn mich nicht alles täuscht umschreiben zu $\begin{eqnarray} xe^{-x²}\cdot 2xe^{x²} = 2x² \end{eqnarray}$ und das würde ja gegen Unendlich gehen... allerdings steht in meiner Lösung, dass 1/2 rauskommen soll. Habe ich irgendwo einen blöden Denkfehler drin oder wie kann das sein? Viele Grüße Nima93 Meine Ideen:
02.03.2012, 09:23	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, $\begin{eqnarray} 2xe^{x^{2}} \end{eqnarray}$ ist keine Stammfunktion zum Integranden $\begin{eqnarray} e^{x^{2}} \end{eqnarray}$ . Liebe Grüße, drmorrison
02.03.2012, 09:27	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mit Integral und l`Hospital Mit $\begin{eqnarray} F(x):=\int_0^x e^{t^2}~\dd t \end{eqnarray}$ und dem HDI solltest Du weiterkommen.
02.03.2012, 09:31	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mit Integral und l`Hospital Oh nein... das ist mir in letzter Zeit schon mehrmals passiert... ich habe differenziert statt die Stammfunktion gebildet Mit dem Alter wird man eben auch nicht jünger. jetzt sollte das auch hinhauen... danke für die schnellen Antworten!! edit: Was meinst du mit HDI?? komm grad nicht drauf^^
02.03.2012, 09:38	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mit Integral und l`Hospital HDI - Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, manchmal auch Fundamentalsatz der Analysis Die Begriffsbildung deutet an, dass es sinnvoll sein könnte, sich den mal anzusehen und zu verstehen.
02.03.2012, 09:41	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mit Integral und l`Hospital Achso^^ alles klar, danke!
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02.03.2012, 09:43	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, soweit ich weiß, kannst du keine Stammfunktion für die Funktion $\begin{eqnarray} \exp\left(x^{2}\right) \end{eqnarray}$ geschlossen angeben. Du musst hier etwa mit Reihenansätzen arbeiten, heißt, die Exponentialfunktion in eine Reihe entwickeln und x² einsetzen und umformen. Da wird sich die Reihe schon gewinnbringend vereinfachen, hoffe ich mal. -- Edit: Na klar, Hospital, sorry, ich wollte das per Hand machen
02.03.2012, 09:48	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
öhm, mir ist da gerade noch was anderes aufgefallen: wieso soll e^t² die Stammfunktion sein? wenn ich diese ableite, komme ich ja nicht auf die ursprüngliche Funktion... Beim googeln habe ich jetzt mehrfach gelesen, dass e^t² gar keine richtige Stammfunktion hat? kann da was dran sein? edit: ah, da kamst du mir zuvor
02.03.2012, 10:08	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, also mit der Reihenentwicklung komm ich da auch nicht auf das richtige Rrgebnis... ich muss doch einfach e^x² als Reihe schreiben (hab mal 4 glieder genommen) und diese dann integrieren... soweit kein Problem, aber ich komm da einfach nicht weiter... wenn ich 2 mal Hospital angewendet habe, steht ja im Nenner immer noch e^x²...
02.03.2012, 10:11	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Halt! Nimm doch erst mal den Tipp mit l'Hospital wahr!
02.03.2012, 10:11	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Witz an der Aufgabe ist ja gerade, dass Du (eben wegen des HDI) gar keine explizite Stammfunktion benötigst. Um das Ganze L'Hospital-gerecht vorzubereiten betrachte einfach $\begin{eqnarray} xe^{-x^2}\int_0^x e^{t^2}~\dd t=\frac{F(x)}{\frac 1x\cdot e^{x^2}}\text{ mit }F(x):=\int_0^x e^{t^2}~\dd t. \end{eqnarray}$ Die Ableitung des Zählers liefert der HDI und im Nenner isses stumpf die Produktregel.
02.03.2012, 10:19	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, jetzt versteh ich das! Das ist ja im Prinzip sowas von trivial^^ Und 1/2 kommt auch raus. Super, danke, darauf wäre ich wahrscheinlich nie gekommen...

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